2015步步高高中数学理科文档第十二章12.4

§12.4离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(2)若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：①pi__≥__0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝__1__.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X01…mPC0M·Cn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(√)(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(√)(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(×)(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)2．袋中有3个白球，5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数答案C解析选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.3．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于()A.16B.13C.12D.23答案D解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝23.4．设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X的分布列是________．答案X01P0.70.35.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2X≤4)＝________.答案316解析P(2X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.题型一离散型随机变量的分布列的性质例1设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P121－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22思维启迪利用分布列的两个性质求解．答案C解析由分布列的性质知1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1∴q＝1－22.思维升华(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．解由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为(1)2X＋1的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列为|X－1|0123P0.10.30.30.3题型二求离散型随机变量的分布列例2某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．思维启迪解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率，只有正确地理解随机变量取值的意义才能解决这个关键问题．解(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为X23P1434思维升华求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．(1)从中任取一支，求其标价X的分布列；(2)从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的分布列．解(1)X的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的分布列为X10203040P14141414(2)根据题意，Y的可能取值为20,30,40，且P(Y＝20)＝1C24＝16，P(Y＝30)＝2C24＝13，P(Y＝40)＝3C24＝12.∴Y的分布列为Y203040P161312题型三超几何分布例3一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．思维启迪(1)列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程；(2)随机变量X服从超几何分布．解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为X0123P112512512112思维升华对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为了了解某班的男女生学习体育的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生作为样本，他们期末体育成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)若该班男女生平均分数相等，求x的值；(2)若规定85分以上为优秀，在该10名男生中随机抽取2名，优秀的人数记为ξ，求ξ的分布列．解(1)依题意可得，62＋78＋84＋87＋945＝60＋62＋64＋79＋80＋x＋88＋90＋91＋92＋9810，∴x＝6.(2)由茎叶图可知，10名男生中优秀的人数为6人．∴P(ξ＝0)＝C24C210＝215，P(ξ＝1)＝C14·C16C210＝815，P(ξ＝2)＝C26C210＝13，∴ξ的分布列为分类讨论思想在概率中的应用典例：(12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(2)求随机变量ξ的分布列．思维启迪(1)根据x，y的取值，随机变量ξ的最大值为3，当ξ＝3时，只能x＝1，y＝3或x＝3，y＝1；(2)根据x，y的取值，ξ的所有取值为0,1,2,3，列举计数计算其相应的概率值即可．规范解答解(1)∵x，y可能的取值为1,2,3，∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，∴ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3.因此，随机变量ξ的最大值为3.[3分]∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，∴P(ξ＝3)＝29.故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为29.[6分](2)ξ的所有取值为0,1,2,3.∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况，ξ＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况．[8分]∴P(ξ＝0)＝19，P(ξ＝1)＝49，P(ξ＝2)＝29，P(ξ＝3)＝29.[10分]则随机变量ξ的分布列为ξ0123P19492929[12分]温馨提醒(1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率．(2)随机变量ξ的值是x，y的函数，所以要对x，y的取值进行分类讨论．(3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.方法与技巧1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．失误与防范掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.A组专项基础训练一、选择题1．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(12X52)的值为()A.23B.34C.45D.56答案D解析∵P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，∴a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54，∵P(12X52)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×12＋54×16＝56.2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A．ξ＝4B．ξ＝5C．ξ＝6D．ξ≤5答案C解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()A.1220B.2755C.27220D.2155答案C解析由题意取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0B.12C.13D.23答案C解析设X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1得p＝13，故应选C.5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)答案C解析X服从超几何分布P(X＝k)＝Ck7C10－k8C1015，故k＝4.二、填空题6．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X4)＝0.3，那么n＝______.答案10解析由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n.所以取到每个数的概率均为1n.∴P(X4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.7．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次