2015版线性代数第一章行列式答案

第一章行列式第一节数域与排列第二节行列式定义一、填空1.（1）0；（2）5；（3）(1)2nn；（4）(1)2nn；（5）(1)nn3.11233442aaaa和14233142aaaa；（由n阶行列式的定义）4.正（6(1)，注意将行标写为标准次序）；5.1(1)n；6.2,1ij（将行标写为标准次序列标排列的逆序数应为奇数）；7.2（只有主对角线上的元素相乘为3x）；8.(1)2nn；9.0；（提示：一元n次方程n个根之和为1n次项的系数，本题1n次项为2x，其系数为0，也即0abc，利用行列式的性质可得结果为0，超纲题）；10.(1)2nnt二、1.0（直接利用对角线法则，也可用性质计算）；2.abcd（按n阶行列式的定义，只有一项不为0，乘积abcd的列标排列为1324，逆序数为奇数，故为abcd）。第三节行列式的性质第四节行列式按行（列）展开一、1.A（B,C,D为充分条件）；2.C（由教材P23定理1.4.1可得）；3.C；4.A（2122232411110********ccccAAAA）二、1、0（各列都加到第一列则第一列元素全为0）；2、(1)na；（1111det()nijnnnaaaaa,而1111det()nijnnnaaaaa,每行提公因子1）；3、0（由n阶行列式的定义）；4、15（1212222232324242(1)(5)23071415DaAaAaAaA）；5、mn，（11121311131311111211122122232123232121222122aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa）；6.85，（12121(1)045xA，可解得45x）。第五节克拉默法则一、D（A,B,C充分非必要）二、123491182,,,2105xxxx提示：所需计算的5个行列式恰好都是范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式计算可得，系数行列式120D，另1234240,540,12,432DDDD所以，123491182,,,2105xxxx三、1且94提示：齐次线性方程组有唯一解即只有零解，需系数行列式0D，即221112(4139)0414D，解得491或。四、08-3zy4x解法一：（高数）点法式方程法向量2131114,1,3311111ijknn解法二：设平面方程为0AxAyCzD，且平面过点(,,)xyz则有：0230300ABCDABCDABCDxAyBzCD方程组有非零解系数行列式等于零即11111111122231112202223111222011111110xyzxyzxyz221212(1)(1)(1)222222xyz2480xyz故得，平面方程为480xyz综合题一、1、C、（B应为正，D应为负）2、B、（第二列加第一列，再第三列加第二列；第二列提公因子2，第三列提公因子3；交换一、三行）3、B、（即1110abcbccaab）4、A（元素-3的代数余子式为1312(1)26）二、1、1123354452aaaaa和1124354352aaaaa；（由n阶行列式的定义）2、0，0；提示：第一、三行，111213141511121314152020AAAAAAAAAA3、(1)211nnDD；（将1D做逐行互换得到D，共做(1)2nn次相邻的行互换）4、1；（提示：齐次线性方程组有唯一解即只有零解，需系数行列式0D）5、28；（将D的最后一行换为-1,1，-1,1；注意余子式与代数余子式的关系）6、1；（出现3x的项有两个，系数分别是1和-2）7、k（提出第二列公因子k）；8（每行提公因子2）；12（拆分第二列；或2112cc；第一列提公因子4，第二列提公因子3。）；8、0,0ab（展开有220ab）三、1、1(1)!nn；（提示：n阶行列式定义）2、122(1)!nnn；（提示：n阶行列式定义）3、13132442xxyyxyxy；(提示：（1）Laplace定理11223344xyxyDyxyx（2）2323111111222233333322444444000000000000000000000000ccrrxyxyxyxyxyyxyxyxxyxyxyxy11223344xyxyyxyx))((24423131yxyxyyxx)4、2000；（提示：先按第一列拆分、再按第三列拆分或1232,cccc）231232132231001031002043140841992003951001251000552000301300600130130rrccccrrc注：由于技术原因，本章出现的符号应为，请注意！5、160；1234110123410101010111123412341234110341234123412412341234123rrrrr2131324341422343111111111111012101210121101010160012100400040032100440004rrrrrrrrrrrr6、abcd；(展开降阶)30530004300273027000aabadbdcabcdcbcd7、0；422122412447237231202100015251052010152511601170116cccc按第行展开12232808170170116rrrr8、(1)211,11,211nnnnnnaaaa；（由n阶行列式的定义）9、1(1)nxnaxa；（参考教材P19例1.3.4）10、（1）当2n时，211221221Dxyxyxyxy（2）当2n时，由2131,rrrr得第二行与第三行对应成比例，所以0nD.11、)(22ababab(利用性质和按行（列）展开直接计算可得)12、100011000110001100011aaaaaaaaa23451aaaaa(提示：类43P例1.6.2，例1.6.3)123455000111000110001100011rrrrraaaDaaaaa44(1)aD(按第一行展开)四、错。正确答案为41332214443223114132231444332211aaaaaaaaaaaaaaaa五、7x；（第一行元素与第三行元素的代数余子式乘积之和为0）六、提示：系数行列式3210Da，得只有零解。七、1、提示：利用加边法，得到范德蒙德行列式222225333334444411111abcdxDabcdxabcdxabcdx。一方面，23451525354555DAxAxAxAxA，而所求四阶行列式为元3x的余子式。另一方面，由范德蒙行列式知，D，整理成x的多项式。比较3x的系数即得所求四阶行列式。2.（课本26P例1.4.2）八、解：(1)(1)2221111nnnnnaaaDaaaa；（Laplace定理）另：法1：按最后一行展开。法二：第一行加最后一行的-1倍，再将第一列加到最后一列。方法有很多，自己总结。九、解：11121111112001030100nAAAn111123110!1101001jcjnn1222111112301001!!100100001nnknccckknnnk或者：123111231112111111111111231200020010300030100000nccccnnnAAAnn11112323nn。十、9,18提示：4142434445414243444522720AAAAAAAAAA