3-3s泰勒公式

例如,当x很小时,xex1,xx)1ln(第三节泰勒(Taylor)定理我们知道多项式函数是最简单的函数，在函数运算中，能不能使得多项式函数以外的函数都能近似的用多项式来表达?不足:1、精确度不高；2、误差不能估计.问题:寻找函数)(xP,使得)()(xPxf误差)()()(xPxfxR可估计问题：设函数)(xf在含有0x的开区间内具有直到)1(n阶的导数，试找出一个关于)(0xx的n次多项式2010200()()()()nnnpxaaxxaxxaxx（3.3.1）来近似表达)(xf，要求)(xpn与)(xf之差是比nxx)(0高阶的无穷小，并给出误差)()(xpxfn的具体表达式.假设)()(,),()(),()(),()(0)(0)(000000xfxpxfxpxfxpxfxpnnnnnn对（3.3.1）式求各阶导数，然后分别代入以上等式，可得),(!,),(!2),(1),(0)(020100xfanxfaxfaxfann即得001020()01(),(),(),,2!1().!nnafxafxafxafxn将求得的系数naaaa,,,,210代入（3.3.1）式，有000()20000()()()()()()()()2!!nnnpxfxfxxxfxfxxxxxn泰勒中值定理如果函数f(x)在含有的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任一，有0x.)()!1()()()()(!)()(!2)(''))((')()(010)1(00)(200000之间的某个值与是这里xxxxnfxRxRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnnnnn),(bax注意:(1)以上泰勒公式称f(x)按(x–x0)的幂展开的n阶泰勒公式，而称为是拉格朗日型余项;)(xRn(2)当n=0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式故泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.)())((')()(000之间与在xxxxfxfxf0)()(lim)!1()()!1()()(01010)1(0nnxxnnnnxxxRxxnMxxnfxR而高阶的无穷小，是比时当故nnxxxRxx)()(,00即皮亚诺余项0()[()]nnRxoxx故泰勒公式也可写为])[()(!)())((')()(000)(000nnnxxoxxnxfxxxfxfxf()xM(n+1)如果当x(a,b)时,f在泰勒公式中，取,000之间与在，xx(01)x令，则有下式：)10()!1()(!)0(!2)0('')0(')0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxf这就是麦克劳林公式，在麦克劳林公式中,麦克劳林公式也可称f(x)按x幂展开的n阶泰勒公式.1)!1()(nnxnMxR)(!)0()0(')0()()(nnnxoxnfxffxf或例1写出阶麦克劳林公式.nxfx的e)(解：xnnxnxfffffxfxfxfe)(1)0()0('')0(')0(e)()('')(')1()()()10()!1(e)!1(e)()10()!1(e!!21e1112nxnxnnxnxxnxnxRxnnxxx由公式可知!!212nxxxenx估计误差)0(x设!1!2111,1nex取.)!1(3n其误差)!1(neRn).10()!1()!1()(1nxxnxnenexR例2f(x)=sinx带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.0)0(,1)0(''',0)0('',1)0(,0)0()4(fffff),2sin()(,,sin)(,cos)(''',sin)('',cos)()(4nxxfxxfxxfxxfxxfn解：等等，它们顺序循环地取四个数0,1,0,－1,于是按公式,)!12()1(!5!3sin212153mmmRmxxxxx得(令n=2m)其中)10()!12(]2π)12(sin[)(122mmxmmxxR0131,()3xfxx当例：时求函数的阶泰勒公式。6)1(,2)1(,1)1(,1)1(ffff解：阶泰勒公式为：的函数31)(xxf])1[()1(!36)1(!22)1(1)(432xoxxxxf])1[(])1()1()1(1[332xoxxx例2写出阶麦克劳林公式.nxfx的e)(解：xnnxnxfffffxfxfxfe)(1)0()0('')0(')0(e)()('')(')1()()()10()!1(e)!1(e)()10()!1(e!!21e1112nxnxnnxnxxnxnxRxnnxxx当0xx，拉格朗日余项)(xRn可以表示为：)(xRn0[()]noxx.于是当)(xf在0x处存在n阶导数时，)(xf按)(0xx的幂展开到n阶的泰勒公式就可以表示为：200000()0001()()()()()()2!()()[()]!nnnfxfxfxxxfxxxfxxxoxxn称)(xRn0[()]noxx为泰勒公式的皮亚诺余项.二、带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式五个常用函数的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式：)(!!212nnxxonxxxe)()!12()1(!7!5!3sin1212753nnnxonxxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx)()1(432)1ln(1432nnnxonxxxxxx2(1)(1)(1)(1)1()2!!nnxnxxxoxnaaaaaaa+---+=+++++LL　三、泰勒公式的应用1．计算函数的近似值例4计算数的近似值，使其误差不超过.e610其中介于0及x之间.当1x时，则得无理数e的近似式为!1!2111ne解xe的麦克劳林公式为：12)!1(!!21nnxxnenxxxe当10n时，,10!113)1(610R于是718282.2!101!31!2111e.其误差3(1)(1)!(1)!neRnn2．用多项式逼近函数例5在[0,1]上用二次多项式逼近函数,并估计误差.xy1135222113()(1),()(1),()(1)248fxxfxxfxx113(0)1,(0),(0),(0)248ffff解：52321111(1)(01)2816xxx231111(0)(0)()2!3!xfxfxfx32521()1616(1)xRx所以3．证明某些不等式例6设且，证明.,1)(lim0xxfx0)(xfxxf)(证明：因0)(xf所以)(xf连续可导，于是有1)(lim,0lim00xxfxxx，所以0)(lim0xfx且0)0()(lim0fxfx，于是)0(10)0()(lim0fxfxfx又22()()()(0)(0)2!2!fffxffxxxx（其中介于0x及之间）由于,0,0)(2xf由上式即得xxf)(成立.例7在区间（a,b）内，求证：baxxxxfn,,,,,0)(21)()()(111nxxfxfxfnnn证明令nxxxxn210，将()ifx在0x点进行一阶泰勒展开，得200001()()()()()()2!iiifxfxfxxxfxx，(1,2,,)in.000()()()(),(1,2,,)iifxfxfxxxin由已知条件可知，0)(f，从而得n个不等式相加，得))(()()()()(0210021nxxxxxfxnfxfxfxfnn即)()()()(021xnfxfxfxfn故有)()()()(12121nxxxfxfxfxfnnn4．求极限若)()(kkxoAxxf，0A为常数（0x），则kAxxf~)(.事实上00()()limlim1kkkkxxfxAxoxAxAx)0(~)()(AAxxoAxxfkkk)0(~)()(BBxxoBxxgmmm因此，利用带有皮亚诺余项的泰勒公式可以求出某些函数的极限.当0x时，若则：mkmkBAmkBxAxxgxfmkxx,0,,lim)()(lim00例8求4202coslimxexxx解：由于224244421cos(1())(1())2!4!22!4xxxxxxeoxox--=-++--++)0(121~)()!241!41(444xxxox121121limcoslim4404202xxxexxxx所以例9求30)1(sinlimxxxxexx333220)1())(!3))((!21(limxxxxoxxxoxxx3330)(31limxxoxx3131lim330xxx30)1(sinlimxxxxexx解1、泰勒中值公式2、麦克劳林中值公式)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn])[()()!1()()(0)1(0)1(nnnnxxoxxnfxR)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxf)10()!1(!!2112nxnxxnenxxxe1212153)!12(]2)12(sin[)!12()1(!5!3sinmmmxmmxmxxxxx内容小结：P1484，6作业：