2015秋高中数学1.2函数的概念课件(16)

2.2.2对数函数及其性质（第三课时）我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt，其中速度v是常量，定义域t0，值域s0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数，定义域s0，值域t0．vst问题１：函数s=vt的定义域、值域分别是什么？（定义域为0,,值域为0,）问题２：函数中，谁是谁的函数？vst（时间t是位移s的函数）问题３：函数s=vt与函数之间有什么关系？vst（一个解析式的两种不同形式，都是函数解析式，自变量和函数值恰好互换）问题4：在指数函数2xy中，x为自变量，y为因变量。如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。师生共同探讨、交流，揭示规律，过程如下：指数函数2xy中，x是自变量，y是x的函数，定义域为xR，值域为y（0，+）。由指数式与对数式的互化有：2logxy对于y在（0，+）中任何一个值，通过式子2logxy，x在R中都有唯一的值和它对应．因此，它也确定了一个函数：2logxy，y为自变量，x为y的函数，定义域是y（0，+），值域是xR．由于，函数2logxy与函数2xy是一个解析式的两种不同形式，都是函数解析式，而且自变量与函数值恰好相反，故我们引入一个新的概念，称函数2log((0,))xyy是函数2xy（x∈R）的反函数.问题5：请同学仿照解决问题4的过程，探讨对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）和指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）是否也互为反函数?仿照问题4的探讨过程，完全有学生自主研究，大胆总结，如下：指数函数xya中，x是自变量，y是x的函数，定义域为xR，值域为y（0，+）。由指数式与对数式的互化有：logaxy对于y在（0，+）中任何一个值，通过式子logaxy，x在R中都有唯一的值和它对应．因此，它也确定了一个函数：logaxy，y为自变量，x为y的函数，定义域是y（0，+），值域是xR．由于，函数logaxy与函数xya是一个解析式的两种不同形式，都是函数解析式，而且自变量与函数值恰好相反，故我们引入一个新的概念，称函数log((0,))axyy是函数xya（x∈R）的反函数.问题6：由问题5，我们总结了函数log((0,))axyy是函数xya（x∈R）的反函数，但是总感觉函数log((0,))axyy有些怪怪的，不舒服，到底是哪里的问题呢？又怎样解决呢？在函数x=logay中，y是自变量，x是函数.但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对调函数x=logay中的字母x、y，把它写成y=logax.这样，那么，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数.问题7：由问题6知对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数，那么反过来，指数函数y=ax（x∈R）是否也是对数函数y=logax（x∈（0，+∞））的函数呢？答案是肯定的，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=ax（x∈R）也是对数函数y=logax（x∈（0，+∞））的反函数.因此，指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.反函数概念:指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数。问题8：通过以前的学习，我们知道研究一个新函数过程往往是，定义——解析式——图像——性质。反函数的定义与解析式都研究完了，那么，互为反函数的两个函数的图像具有怎样的特点呢？发现，2xy与2logyx的图像关于直线y=x对称，3xy与3logyx的图像也关于y=x对称。问题9：根据问题8，我们是否能说互为反函数的两个函数都关于直线y=x对称呢？（师生共同再利用几何画板在同一个坐标系中依次画出指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞）），并观察。）图像反函数的性质：互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。例1.求下列函数的反函数：（1）y=(x∈R),(2)y=(x∈R),(3)y=(x∈R),(4)y=(x∈R),(5)y=lgx(x＞0),(6)y=2x(x＞0)x4x25.0x)31(x)2(4log解：（1）所求反函数为：y=x(x＞0),(2)所求反函数为：y=x(x＞0)(3)所求反函数为：y=(x＞0),(4)所求反函数为：y=(x＞0)(5)所求反函数为：y=(x∈R),(6)所求反函数为：y==(x∈R)4log25.0logx31logx2logx1024xx2例2.函数y=的图象与函数的图象关于（）A.轴对称B.轴对称C.原点对称D.直线对称3x3logyxyxyx答：D例3.若点（1,2）既在函数ymxn上，又在其反函数的图像上，求m,n的值。解：由已知得：，即，故m、n的值分别是－3、7．122nmnm73nm1．反函数的定义；2.掌握同底的指数函数与对数函数互为反函数；3．互为反函数的函数图象关于直线y=x对称.课堂小结：1.阅读教材P.73；作业：