312空间向量的数乘运算.

一、空间向量的数乘：2、空间向量的数乘的性质0（1）当时，aa与同向0（2）当时，aa与反向1、定义：aa实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘a0（3）当时，0,0a当00a或有||)4(ababa)(aa)()(2、空间向量的数乘的运算律（3）数乘结合律：（1）数乘分配律1：||||aa3a3aaaa)(（2）数乘分配律2：1、定义：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量?a,a,?a,b,:bbbaba有什么位置关系时与反过来有什么位置关系与如果与对空间任意两个向量探究二、空间中的共线向量（或平行向量）aab2ac32、空间中共线向量的性质（1）aa与向量向量共线,//ba若,//ab则（2）非零共线向量的传递性：,//,//,0cbbab若,//ca则（3）零向量与任一向量共线，,//0a即（4）空间共线向量定理：对空间任意两个向量),0(,bba)0(//bba有且只有一个实数，使ba思考1：为什么要强调?0b思考2：这个定理有什么作用？1、判定两个向量是否共线2、判定三点是否共线OABPa若P为A,B中点,则12OPOAOB向量参数表示式推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式其中向量叫做直线的方向向量.laalOPOAtal若则A、B、P三点共线。OPOAtAB()APtAB或(1)OPxOAyOBxy若，则A、B、P三点共线。共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与e1,e2有什么关系?如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e22、平面向量基本定理复习：（1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，使c＝xa＋yb3、共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb证明：（2）充分性：如果c满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点O，作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c，显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面BACOc共面向量定理的剖析如果两个向量a，b不共线,★向量c与向量a，b共面存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb★c＝xa＋yb向量c与向量a，b共面(性质)(判定)思考1:如图,平面为经过已知点A且平行两不共线的非零向量ab、的平面,如何表示平面A上的任一点P呢?OAabBCPp⑴∵APab与、共面,∴唯一有序实数对(,),xy使APxayb.∴点P在平面上∴唯一有序实数对(,),xy使APxayb①⑵∵已知点BC、在平面内且ABa,ACb∴点P在平面上是存在唯一有序实数对(,),xy使APxAByAC②⑶∵已知点BC、在平面内且ABa,ACb,对于空间任意一点O∴点P在平面上是存在唯一有序实数对(,),xy使OPOAxAByAC③注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.试证明:对于不共线的三点ABC、、和平面ABC外的一点O,空间一点P满足关系式OPxOAyOBzOC,则点P在平面ABC内的充要条件是1xyz.⑵必要性得证.证明:⑴充分性∵OPxOAyOBzOC可变形为(1)OPyzOAyOBzOC,∴()()OPOAyOBOAzOCOA∴APyABzAC∴点P与ABC、、共面.∴存在有序实数对(,)mn使APmABnAC∴()()OPOAmOBOAnOCOA∴(1)OPmnOAmOBnOC又∵点O在平面ABC外,∴OAOBOC、、不共面,∵OPxOAyOBzOC.∴1,,xmnymzn,∴1xyz为什么?∵点P在平面ABC内,不共线的三点ABC、、※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：（1）只需得到存在实数，使BCABACkAB或（2）对空间任意点O，存在实数t,使OBtOAtOC)1(特别地，当t=1/2时，)(21OBOAOC此时，点C恰为线段AB的中点例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C三点共面：111(1);333(2)2.OMOAOBOCOMOAOBOC例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,,,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD例2(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量A,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.BCDOEFGH证明：∵四边形ABCD为①∴ACABAD（﹡）EGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC（﹡）代入()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若，则P、A、B共线(B)若，则P是AB的中点(C)若，则P、A、B不共线(D)若，则P、A、B共线OPOAtAB3OPOAABOPOAtABOPOAABA2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()1()1()0()3()3ABCDOMxOAOBOC11＋＋33课外补充练习:D课外补充练习:1.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面DCAMCGDB1（a+b)-c2)1（a+b+c3例3:如图,已知空间四边形ABCD中，向量若M为BC的中点，G为ΔBCD的重心，试用表示下列向量：,,,cADbACaABc,b,aDM)1(AG)2(