2015高考数学总复习第11章第7节离散型随机变量及其分布列课时跟踪检测理(含解析)新人教版

1【优化指导】2015高考数学总复习第11章第7节离散型随机变量及其分布列课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A.X012P0.30.40.5B.X012P0.3－0.10.8C.X1234P0.20.50.30D.X012P172737解析：选C选项A中概率和大于1，故不正确；选项B中的概率为负值，故不正确；选项C中满足分布列的两个性质，正确；选项D中概率和不等于1.故选C.2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是()A．X＝4B．X＝5C．X＝6D．X≤5解析：选C事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，此时X2＝6.故选C.3．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a34i，i＝1,2,3，则a的值是()A.64111B.64101C.2764D.3764解析：选A1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝a34＋342＋343，解得a＝64111，选A.4．(2014·贵阳调研)随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝()A.16B.13C.12D.23解析：选D因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，得b＝13，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝23.故选D.5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是()A.3235B.1235C.335D.235解析：选B设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝C12C213C315＝1235.选B.6．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Pa1316F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝()3A.13B.16C.12D.56解析：选D∵a＋13＋16＝1，∴a＝12.∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56.选D.7．某射手射击所得环数X的分布列为()X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________．解析：0.79P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析：45设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C02C34C36＋C12C24C36＝45.9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，且a、b、c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为________．解析：124由已知3a＋2b＋0×c＝1，∴3a＋2b＝1，∴ab＝16·3a·2b≤16a＋2b24＝124，当且仅当a＝16，b＝14时等号成立．10．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．解析：－1,0,1,2,3X＝－1，甲抢到一题但答错了．X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对，X＝2时，甲抢到2题均答对．X＝3时，甲抢到3题均答对．411．(2014·江南十校联考)某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n＞8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n的最大值；(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C1n－6C16C2n＝n－nn－，则n－nn－≥12，整理得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，所以n的最大值为16.(2)由题意得ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝C26C212＝522，P(ξ＝1)＝C16C16C212＝611，P(ξ＝2)＝C26C212＝522，所以ξ的分布列为ξ012P52261152212．自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选2个同学，作为“保钓行动代言人”．(1)求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；(2)设X为选出的4个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“从甲组内选出的2个同学均是男生；从乙组内选出的2个同学中，1个是男生，1个是女生”为事件A，“从乙组内选出的2个同学均是男生；从甲组内选出的2个同学中1个是男生，1个是女生”为事件B，由于事件A，B互斥，且P(A)＝C23C12C14C24C26＝415，P(B)＝C13C24C24C26＝15.5所以选出的4个同学中恰有1个女生的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝415＋15＝715.(2)由条件知X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C23C24C24C26＝15，P(X＝1)＝C23C12C14＋C13C24C24C26＝715，P(X＝3)＝C13C24C26＝130，P(X＝2)＝1－15－715－130＝310.所以X的分布列为X0123P15715310130所以X的数学期望为E(X)＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.1．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12＜X＜52＝______.解析：56由分布列的性质知a11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝4a5＝1，所以a＝54，故P12＜X＜52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝12＋16×54＝56.2．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．解析：－13，13设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得a＝13，6由13－d≥0，13＋d≥0，得－13≤d≤13.故所求范围为－13，13.3．(2014·青岛调研)从3,4,5,6,7,8这6个数中任取3个不同的数，若这3个数的乘积能被24整除，记X＝24；若这3个数的乘积不能被24整除，记X＝－24，则X的分布列为______．解析：X24－24P1212从3,4,5,6,7,8这6个数中任取3个不同的数，一共有C36＝20(种)取法，其中任取3个数的乘积能被24整除的取法有4＋4＋2＝10(种)，所以任取3个数的乘积能被24整除的概率等于1020＝12，于是X的分布列如下：X24－24P12124．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________.解析：45由题意知ξ的所有可能取值为7,8,9,10.P(ξ＝7)＝C22C12C35＝15，P(ξ＝8)＝C22C11＋C22C12C35＝310，P(ξ＝9)＝C12C12C11C35＝25，P(ξ＝10)＝C22C11C35＝110.所以ξ的分布列为ξ789107P1531025110所以P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－15＝45.5．某学校为市运动会招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：男女8165898761723556742180121190若身高在180cm以上(包括180cm)定义为“高个子”，身高在180cm以下(不包括180cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小组”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小组”的人数，试写出X的分布列．解：(1)根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法从中抽取5人，则每个人被抽中的概率是520＝14，所以应从“高个子”中抽8×14＝2(人)，从“非高个子”中抽12×14＝3(人)．用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A表示“没有‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－P(A)＝1－C23C25＝1－310＝710.因此至少有一人是“高个子”的概率是710.(2)依题意知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C34C38＝114，P(X＝1)＝C14C24C38＝37，P(X＝2)＝C24C14C38＝37，P(X＝3)＝C34C38＝114.所以X的分布列为8X0123P1143737114