2015高考数学总复习第9章第5节椭圆课时跟踪检测理(含解析)新人教版

1【优化指导】2015高考数学总复习第9章第5节椭圆课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．(2012·上海高考)对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由mx2＋ny2＝1表示椭圆可知m＞0，n＞0，且m≠n，所以mn＞0.反之由mn＞0不能得出m＞0，n＞0且m≠n.所以“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B.2．设F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝()A.23B．1C.43D.53解析：选C由椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)知a＝1，∵|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，两式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝4－(|AF1|＋|BF1|)＝4－|AB|.又|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，于是2|AB|＝4－|AB|，解得|AB|＝43.故选C.3．(2014·西安测试)椭圆E的短半轴长为3，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为()A.513B.35C.45D.1213解析：选C由已知条件可得b＝3，a－c＝9或a＋c＝9.当a－c＝9时，由b2＝a2－c2＝9，得a＋c＝1，得a＝5，c＝－4(舍去)；当a＋c＝9时，由b2＝a2－c2＝9，得a－c＝1，得a＝5，c＝4，所以e＝ca＝45.故选C.24．若动点P、Q在椭圆9x2＋16y2＝144上，且满足OP⊥OQ，则中心O到弦PQ的距离OH必等于()A.203B.234C.125D.415解析：选C取特殊值．令P、Q分别为椭圆的长轴、短轴的一个端点，则OP⊥OQ.由条件知椭圆方程为x216＋y29＝1，故a2＝16，b2＝9.所以a＝4，b＝3.所以OH＝3×45＝125.故选C.5．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝12，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能解析：选A由已知得e＝ca＝12，则c＝a2.又x1＋x2＝－ba，x1x2＝－ca，所以x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝b2a2＋2ca＝b2＋2caa2＝b2＋a2a2＜2a2a2＝2，因此点P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．故选A.6．(2013·新课标全国高考Ⅰ)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B在椭圆上，得x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②，得x1＋x2x1－x2a2＋y1＋y2y1－y2b2＝0，所以b2a2＝－y1＋y2y1－y2x1＋x2x1－x2，又AB的中点为(1，－1)，所以y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而y1－y2x1－x2＝kAB＝0－－3－1＝12，所以b2a2＝12.又a2－b2＝9，故a2＝18，b2＝9.3所以椭圆E的方程为x218＋y29＝1.故选D.7．(2014·宝鸡质检)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．解析：x216＋y28＝1根据椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∵e＝22，∴ca＝22，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，∴椭圆方程为x216＋y28＝1.8．(2014·宁波十校联考)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1→·MF2→＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解：0，22由MF1→·MF2→＝0，得以|F1F2|为直径的圆在椭圆内，于是b＞c，于是a2－c2＞c2，所以0＜e＜22.，故离心率的范围为0，22.9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率是63，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．解析：－13设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－b2x2a2，y21＝b2－b2x21a2，所以k1·k2＝y－y1x－x1·y＋y1x＋x1＝y2－y21x2－x21＝－b2a2＝c2a2－1＝e2－1＝－13，所以k1·k2的值为－13.10．(2014·海口一中月考)B1，B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则|PF1||OB2|的值是______．解析：22设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．令x＝－c，得y2＝b4a2，∴|PF1|＝b2a.∴|PF1||OB2|＝b2ab＝ba，又由|F1B2|2＝|OF1|·|B1B2|得a2＝2bc，∴a4＝4b2(a2－b2)，∴(a2－2b2)2＝0，∴a2＝2b2，∴ba＝22.所以|PF1||OB2|＝ba＝22.11．已知圆C：x2＋y2＋4x－28＝0内一点A(2,0)，点M在圆C上运动．若MA的垂直平分线交CM于一点P.4(1)求点P的轨迹方程；(2)在点P的轨迹上是否存在关于点N(2，－1)对称的两点？若存在，请求出对称点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)因为点P在线段AM的垂直平分线上，|CM|＝32＝42，所以|MP|＝|PA|.又|CM|＝|CP|＋|PM|，故|PC|＋|PM|＝42＞|CA|＝4，所以点P的轨迹是以C(－2,0)，A(2,0)为焦点，长轴长为42的椭圆，故2a＝42，c＝2，所以b2＝a2－c2＝4，故点P的轨迹方程为x28＋y24＝1.(2)若在点P的轨迹上存在两点B(x1，y1)，D(x2，y2)关于点N对称，则2＝x1＋x22，－1＝y1＋y22，从而有x1＝4－x2，y1＝－2－y2，所以x228＋y224＝1，－x228＋－2－y224＝1，解得x2＝6＋63，y2＝－3＋63或x2＝6－63，y2＝－3－63，故存在两点D6＋63，－3＋63，B6－63，－3－63关于点N对称.12．(2013·浙江高考)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.5(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．解：(1)由题意得a＝2，b＝1.所以椭圆C1的方程为x24＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝1k2＋1，所以|AB|＝24－d2＝24k2＋3k2＋1.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由x＋ky＋k＝0x2＋4y2＝4消去y整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，解得x0＝－8k4＋k2，所以|PD|＝8k2＋14＋k2.设△ABD的面积为S，则S＝12|AB|·|PD|＝84k2＋34＋k2＝324k2＋34k2＋3＋13＝324k2＋3＋134k2＋3≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，当且仅当4k2＋3＝134k2＋3，即k＝±102时等号成立．所以所求直线l1的方程为y＝±102x－1.1．(2014·大连联考)已知F1，F2分别为椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.x236＋y227＝1(y≠0)B.4x29＋y2＝1(y≠0)6C.9x24＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋4y23＝1(y≠0)解析：选C设G点坐标为(x，y)，P点坐标为(x0，y0)，则x＝x03，y＝y03，∴x0＝3x，y0＝3y，代入椭圆方程，得x24＋y23＝1，即9x24＋3y2＝1.又G点是△PF1F2的重心，所以y≠0.故选C.2．(2014·河南调研)已知点P是椭圆x216＋y28＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且F1M→·MP→＝0，则|OM→|的取值范围是()A．[0,3)B．(0,22)C．[22，3)D．(0,4]解析：选B延长F1M交PF2或其延长线于点G.∵F1M→·MP→＝0，∴F1M→⊥MP→，又MP为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|＝|PG|且M为F1G的中点，∵O为F1F2的中点，∴OM綊12F2G.∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，∴|OM→|＝12|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.∵4－22＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋22，∴|OM→|∈(0,22)．故选B.3．(2013·辽宁高考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则C的离心率e＝__________.解析：57如图，在△AFB中，由余弦定理得|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，得|BF|＝8.又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB|·|BF|cos∠ABF，得|OF|＝5.7根据椭圆的对称性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7.又|OF|＝c＝5，故离心率e＝57.4．(2014·海南中学模拟)已知A(－2,0)，B(2,0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为23.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．解：(1)由题意可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F(c,0)．由题意知12·2a·b＝23，a＝2，a2＝b2＋c2.解得b＝3，c＝1.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1，离心率e＝12.(2)以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)．则点D坐标为(2,4k)，BD中点E的坐标为(2,2k)．由y＝kx＋x24＋y23＝1消去y整理得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.设点P的坐标为(x0，y0)，则－2x0＝16k2－123＋4k2.所以x0＝6－8k23＋4k，y0＝k(x0＋2)＝12k3＋4k2.因为点F坐标为(1,0)，当k＝±12时，点P的坐标为1，±32，点D的坐标为(2，±2)，直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆(x－2)2＋(y－1)2＝1与直线PF相切．当k≠±12时，则直线PF的斜率kPF＝y0x0－1＝4k1－4k2.