2015高考理科数学《曲线与方程》练习题

-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----2015高考理科数学《曲线与方程》练习题[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．方程x2－y2＝0对应的图象是()解析：由x2－y2＝0得，y＝x或y＝－x，故选C.答案：C2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.答案：D3．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A．y2－x248＝1(y≤－1)B．y2－x248＝1(y≥1)C．x2－y248＝1(x≤－1)D．x2－y248＝1(x≥1)解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----答案：A4．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d＝32R，即|x|＝32R.而R＝|PF|＝x－a2＋y2，∴|x|＝32·x－a2＋y2.整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，即x＋3a212a2－y24a2＝1.∴点P的轨迹为双曲线．答案：D5．已知点A(1,0)和圆C：x2＋y2＝4上一点R，动点P满足RA→＝2AP→，则点P的轨迹方程为()A.x－322＋y2＝1B.x＋322＋y2＝1C．x2＋y－322＝1D．x2＋y＋322＝1解析：设P(x，y)，R(x0，y0)，则有RA→＝(1－x0，－y0)，AP→＝(x－1，y)．又RA→＝2AP→，∴1－x0＝x－，－y0＝2y.∴x0＝－2x＋3，y0＝－2y.又R(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴(－2x＋3)2＋(－2y)2＝4，即x－322＋y2＝1.答案：A-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----6．设A1，A2是椭圆x29＋y24＝1的长轴两个端点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.x29＋y24＝1B.y29＋x24＝1C.x29－y24＝1D.y29－x24＝1解析：设交点为P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，∵A1，P1，P共线，∴y－y0x－x0＝yx＋3.①∵A2，P2，P共线，∴y＋y0x－x0＝yx－3.②由①②解得x0＝9x，y0＝3yx，代入x209＋y204＝1，化简，得x29－y24＝1.答案：C二、填空题7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x3)．答案：x29－y216＝1(x3)8．(2014年成都模拟)P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----有一动点Q满足OQ→＝PF1→＋PF2→，则动点Q的轨迹方程是________．解析：由OQ→＝PF1→＋PF2→，又PF1→＋PF2→＝PM→＝2PO→＝－2OP→，设Q(x，y)，则OP→＝－12OQ→＝－x2，－y2，即P点坐标为－x2，－y2，又P在椭圆上，则有－x22a2＋－y22b2＝1，即x24a2＋y24b2＝1.答案：x24a2＋y24b2＝19．已知真命题：若A为⊙O内一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是以O，A为焦点，OB长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是________．解析：如图，连接AP，由于P是线段AB垂直平分线上一点，故有|PA|＝|PB|，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----因此||PA|－|PO||＝||PB|－|PO||＝|OB|＝R＝定值，其中R为⊙O的半径．又由于点A在圆外，故||PA|－|PO||＝|OB|＝R|OA|，故动点P的轨迹是以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线．答案：以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线三、解答题10.如图所示，直线l1与l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝17，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解析：以l1为x轴，l2为y轴建立平面直角坐标系，M为坐标原点．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，N(xN,0)．依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，yA＝|DM|＝|AM|2－|DA|2＝22.∵△AMN是锐角三角形，∴xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋|AN|2－|AE|2＝4，xB＝|BF|＝|BN|＝6.设P(x，y)是曲线段C上任一点，则P∈{(x，y)|(x－xN)2＋y2＝x2，xA≤x≤xB，y0}．∴曲线段C的方程为y2＝8(x－2)(3≤x≤6，y0)．11．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝23，求直线l的方程；-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，ON→＝(0，y0)，若向量OQ→＝OM→＋ON→，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解析：(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由|2－k|k2＋1＝2，得k1＝0，k2＝－43，从而所求的切线方程为y＝2和4x＋3y－10＝0.(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d(d0)，则23＝24－d2，得d＝1，从而1＝|－k＋2|k2＋1，得k＝34，此时直线方程为3x－4y＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.(3)设Q点的坐标为(x，y)，M点坐标是(x0，y0)，ON→＝(0，y0)，∵OQ→＝OM→＋ON→，∴(x，y)＝(x0,2y0)⇒x＝x0，y＝2y0.∵x20＋y20＝4，∴x2＋y22＝4，即x24＋y216＝1.∴Q点的轨迹方程是x24＋y216＝1，轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆．12．(能力提升)(2014年恩施模拟)在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，|OM→|＝5，ON→＝255OM→.过点M作MM1⊥y轴于点M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，OT→＝M1M→＋N1N→.记点T的轨迹为曲线C，点A(5,0)、B(1,0)，过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间)．(1)求曲线C的方程；(2)是否存在直线l，使得|BP|＝|BQ|，并说明理由．解析：(1)设点T的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x′，y′)，则M1的坐标为(0，y′)，ON→＝255OM→＝255(x′，y′)，于是点N的坐标为255x′，255y′，N1的坐标为255x′，0，所以M1M→＝(x′，0)，N1N→＝0，255y′.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----由OT→＝M1M→＋N1N→，有(x，y)＝(x′，0)＋0，255y′，所以x＝x′，y＝255y′.由此得x′＝x，y′＝52y.由|OM→|＝5，得x′2＋y′2＝5，所以x2＋52y2＝5，得x25＋y24＝1，即所求的方程表示的曲线C是椭圆．(2)点A(5,0)在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l的斜率存在，并设为k，直线l的方程为y＝k(x－5)．由方程组x25＋y24＝1，y＝kx－得(5k2＋4)x2－50k2x＋125k2－20＝0.依题意知Δ＝20(16－80k2)0，得－55k55.当－55k55时，设交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为R(x0，y0)，则x1＋x2＝50k25k2＋4，x0＝x1＋x22＝25k25k2＋4.∴y0＝k(x0－5)＝k25k25k2＋4－5＝－20k25k2＋4.又|BP|＝|BQ|⇔BR⊥l⇔k·kBR＝－1，k·kBR＝k·20k5k2＋41－25k25k2＋4＝20k24－20k2＝－1⇔20k2＝20k2－4，而20k2＝20k2－4不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|＝|BQ|.[B组因材施教·备选练习]1．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A．x2－y28＝1(x1)B．x2－y28＝1(x－1)-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----C．x2＋y28＝1(x0)D．x2－y210＝1(x1)解析：如图所示，设直线MP与直线NP分别与动圆C切于点E、F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2|MN|，所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．设对应的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，则a＝1，c＝3，b2＝8.故P点的轨迹方程为x2－y28＝1(x1)．答案：A2．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线解析：在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA、DC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内，且到A1D1到DC的距离相等，∴|x|＝y2＋a2，∴x2－y2＝a2，故该轨迹为双曲线．答案：D3．由抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R，则点R的轨迹方程是________．解析：设Py202，y0，则F12，0，Q－12，y0∴OP的方程y＝2y0x①-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----QF的方程为：y＝－y0x－12②由①、②消去y0得y2＝－2x2＋x.答案：y2＝－2x2＋x======*以上是由明师教育编辑整理======