34麦克斯韦速度分布律-44

一、气体分子的速率分布函数如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动速率(在经典物理中为0→)，按照从小到大的排列，分成一系列相等的速率区间，例如从：0─100m/s，100─200m/s，200─300m/s，…（i）如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在哪个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动完全是偶然的，无规则的(即随机的），毫无意义的。对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对于大量分子，其速率的分布从整体上会出现一些统计规律。§3.4麦克斯韦速率分布律（ii）如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是大量分子的整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的分子数Ｎ，占总分子数N的百分比──这时就会发现，它是存在确切的统计规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率分布律。分子实速验率数分据布的400~50020.6%100＜1.4%100~2008.1%200~30016.5%300~40021.4%500~60015.1%600~7009.2%700~8004.8%800~9002.0%900＞0.9%速率区间百分数(m/s)麦克斯韦从理论上得到速率分布定律斯特恩从实验上证实了速率分布定律将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一系列相等的速率间隔，即v1v1+v,v2v2+v,…,然后考察分布在速率间隔v+v内的分子数N占总分子数的百分比N/N,为了进一步消除速率间隔v的影响，将比值N/N除以v,即得N/Nv取极限，并令极限值为以f(v)表示，──其是速率v的确定函数。即dvdNNvNNvfv10lim)(──这就是麦氏速率分布函数。速率分布函数的意义：速率在v附近，单位速率区间的分子数占总分子数的百分比。一个分子，其速率分布在v单位间隔内的概率。可是大量分子速度分量的方均值相等。一个分子，某一时刻速度v通常vxvyvz231v222zyxvvv其中NvvvvNxxxx2222122222iziyixivvvv2222zyxvvvvdNvdvvfvNdvdNvfv平衡态——麦克斯韦速率分布函数，可由玻尔兹曼统计求。m：分子的质量2311.3810AkRNJK1、对于给定气体f（v）只是T的函数。2、速率分布是统计规律，只能说：某一速率区间的分子有多少；不能说：速率为某一值的分子有多少。混合气体不存在此分布律，但各组分仍适用。3、由于分子运动的无规则性，任何速率区间的分子数都在不断变化，dNv只表示统计平均值。为了使dNv有意义，dv必须宏观足够小，微观足够大。vvvde)π2(π4d22232kTmkTmNN22232e)π2(π4)(vvvkTmkTmf麦氏速率分布函数麦克斯韦的两种推导方法，均不利用M-B分布推导方法1，有假设推导方法2，无假设，从碰撞出发其他数学方法：不利用M-B分布推导物理模型气体含有N个分子，体积为V;宏观容器内，分子的平均能量可以看作准连续的变量;一般地，气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布;方案：经典统计理论求解：体积V内，速度在dvxdvydvz范围内的分子数leal先求此范围内的微观状态数，再乘以玻耳兹曼分布麦克斯韦速度分布律的推导（从M-B分布）最终得到单位体积内，分子速度在dvxdvydvz范围内的分子数zyxvvvkTmvdvdvdvekTmndNzyx)(2232222vdNpdN先求，再变量代换为vdN将记为：zyxvvvkTmzyxzyxdvdvdvekTmndvdvdvvvvfzyx)(2232222),,(ndvdvdvvvvfzyxzyx),,(-------麦克斯韦速度分布律速度分布函数满足：vdN-------麦克斯韦速率分布律dvvekTmndvvfvkTm2223224)(换球坐标，并对角度积分：1.无外场时，分子平均能量的经典表达式为22221zyxpppm2.体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的状态数zyxdpdpdphV3leall3.体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的分子数2221()23xyzpppmkTpxyzVdNedpdpdph4.参数α由总分子数N的条件定出NdpdpdpehVzyxpppmkTzyx)(2132225.将积分求出，得：3222NheVmkTzyxpppmkTpdpdpdpemkTNdNzyx)(2123222216.体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的分子数pdNpdN2、体积V内，分子速度在dvxdvydvz范围内的分子数zzyyxxmvpmvpmvpzyxpppmkTpdpdpdpemkTNdNzyx)(212322221体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的分子数zyxvvvkTmvdvdvdvekTmNdNzyx)(2232222zzyyxxmdvdpmdvdpmdvdp3、单位体积内，分子速度在dvxdvydvz范围内的分子数分子数密度VNnzyxvvvkTmvdvdvdvekTmndNzyx)(2232222pdNvdNvdNzyxvvvkTmzyxzyxdvdvdvekTmndvdvdvvvvfzyx)(2232222),,(4、麦克斯韦速率分布律zyxdvdvdvddvdvsin223222sin2mvkTmnevdvddkT单位体积内，分子速率在v～v＋dv范围内、速度方向在θ～θ+dθ、φ～φ+dφ的分子数为：麦克斯韦速度分布律23222200sin2mvkTmnevdvddkT对θ和φ积分，得到单位体积内，分子速率在v～v＋dv范围内的分子数为：vdN23222200sin2mvkTmnevdvddkT单位体积内，分子速率在v～v＋dv范围内的分子数为：dvvekTmnvkTm2223224－－－－麦克斯韦速率分布律dvvekTmndvvfvkTm2223224)(vdNxyzd*理想气体在外力场(例如重力场)中分子数密度分布:kTmekTmNddNf22322)2(4vvvkTmekTmdNdN2223242zyxddd速率区间的体积xyzdxyzdzyx)2(2/3ddddddeKTmdxdydzNdNzyxKT考虑分子在重力场中情况：mgzmmp22vv2121zyxdddekTmNdNkTm22232麦克斯韦的速率分布xyzd221m平动动能考虑分子处重力场中0Zmgzmmp22vv2121zyx)2(2/3ddddddeKTmdxdydzNdNzyxKT理想气体在平衡态下，分子分布在速率区间：具有能量为的分子数zzzyyyxxxddddzzdyydxx坐标区间：0n式中n0为势能为零处单位体积内具有各种速率的分子总数。zyx)2(2/30ddddddeKTmndNzyxKTpk上式对所有速率积分，考虑f（V）函数归一化条件01)(dfxyzdxyzd1)2(2/3zyxKTdddeKTmK上式对所有速率积分，考虑f（V）函数归一化条件1)2(2/3zyxKTdddeKTmKzyx)2(2/30ddddddeKTmndNzyxKTpk＋－zyxKTKTdddeKTmdddenNdkp2/30)2(zyx1在重力场中Ｚ高度处dzzdyydxx的分子数.分子分布在坐标区间内具有各种速率mgzpdzdydxenNdKTEP0dzdydxenKTmgz0上式表示：在重力场中Ｚ高度处dzzdyydxx内具有各种速率的分子数.分子分布在坐标区间0ZdzdydxenNdKTmgz0KTmgzen0dxdydzNd在高度为Z处单位体积内分子数(内具有各种速率):n*理想气体在外力场(例如重力场)中分子数密度分布:KTmgzenn0n0是z=0处单位体积内分子数。在重力场中气体分子数密度随高度增高按指数减小。在高度为Z处单位体积内分子数(内具有各种速率):0ZRTMgzokTgzmoepepp0nkTp------等温气压公式皮兰实验–1909年，法国科学家皮兰曾数了显微镜下悬浊液内不同高度出悬浮粒子数目。结果证实了重力场中粒子按高度分布的定律“”；并求出了阿伏伽德罗常数NA。这个实验结果，在物理学史上最后确立了分子存在的真实性。–1926年Perrin获得诺贝尔物理奖。()(0)exp()gznznRT皮兰实验()(0)exp()gznznRT当系统在保守外场中处于平衡态时，分子的速度介于：vx~vx+dvxvy~vy+dvyvz~vz+dvz坐标介于：x~x+dxy~y+dyz~z+dz的分子数称玻尔兹曼分布律dxdydzdvdvdvedNzyxkTEmvP22－C麦克斯韦速度分布与玻尔兹曼分布的关系•1876年，玻尔兹曼提出以下证明思路：在均匀重力场中恒温理想气体的分子数密度为n(h)=n(0)exp[mgh/(kT)].但是，速度分量vz的分布函数f(vz)应该仅由温度T决定而与重力场强g或高度h无关。高处的n(h)之所以会比较小，是由于低处那些vz小的分子不能克服重力场而飞到高处。•因此，正是分子的速度分布决定了其在重力场中按高度的分布。两者密切相关，据此可以推导速度分量vz的分布函数f(vz).现在分布函数f(vz)可以用于g=0（即无重力场）时沿任何方向所选定的z轴。换句话说，加上或取消重力场，都不会影响与改变分子的速度分布。原来利用重力场只是手段。v0—v0+dvvfv（1）速率在v0—v0+dv区间的分子数，占总分子数的百分比，或说分子速率分布在该速率区间内的概率。图中用小窄条的面积表示。dvvfNdNv00（2）速率在v1—v2区间的分子数，占总分子数的百分比，或说分子速率在该区间的概率。图中用v1–v2曲线下的面积表示。v1v2vfvdvvfNdNvvvvv2121（3）全部分子占总分子数的百分比=1，分布在整个速率范围内各个速率间隔中的分子数的比率的总和。用曲线下的总面积表示。10dvvf归一化条件（4）全部分子的平均速率00dvvfdvvvfv1dvvvfv0（5）速率平方的平均值dvvfvv022二、三种速率（对应麦克斯韦速率分布）vfvvp速率为vp的分子数最多？——vp附近单位速率区间的分子数最多！可用求极值的方法求得。令0dvvdf解出v2pkTvmMRT2MRTvp41.1得（1）最概然速率vpm:一个分子的质量k=1.3810-23j.k-1（SI）M:一摩尔分子的质量N0=6.0221023R=8.31j.mol-1.k-1（SI）2311.3810AkRNJK222/32)2(4vekTmdvdkTmvkTmvkTmvevkTmvevkTm2222/322)2(2