2016届中考数学复习专题练4-4等腰三角形和直角三角形3

第1页§4.4等腰三角形和直角三角形A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·山东青岛，4，3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝()A.3B．2C．3D.3＋2解析在Rt△BDE中，∠B＝30°，所以BD＝2DE＝2，又因为角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD＝DE＝1，所以BC＝3.答案C2．(2015·浙江台州，8，3分)如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是()A．8cmB．52cmC．5.5cmD．1cm解析折痕最长为该矩形对角线的长52＋62＝61cm.答案A3．(2015·四川泸州，12，3分)在平面直角坐标系中，点A(2，2)，B(32，32)，动点C在x轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为()A．2B．3C．4D．5解析如图，∵AB所在的直线是y＝x，∴设AB的中垂线所在的直线是y＝－x＋b.∵点A(2，2)，B(32，32)，∴AB的中点坐标是(22，22)．把x＝22，y＝22代入y＝－x＋b，解得b＝42，∴AB的中垂线所在的直线是y＝－x＋42，∴C1(42，0)；以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2，C3；∵AB＝（32－2）2＋（32－2）2＝4，32＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．综上，可得若以A，B，第2页C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3.答案B4．(2015·山东泰安，13，3分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析先由AD，BD都是角的平分线，又因为BF∥AC，同旁内角互补，可得∠ADB＝90°，进而可得△ADC≌△ADB，所以②③成立，进而再证明△DCE≌△DBF，所以①④成立．答案A二、填空题5．(2015·山东泰安，23，3分)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为________．解析由勾股定理可得BM＝MC＝10，所以ME＝MF＝5，再由三角形的中位线的性质可得EN＝FN＝5，所以四边形ENFM的周长为20.答案206．(2015·四川宜宾，15，3分)如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C32，32，则该一次函数的解析式为________．解析如图，过点C作CD⊥x轴，设A(x，0)．∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，∴OA＝AC.∵A(x，0)，C32，32，∴OA＝AC＝x，则AD＝32－x.第3页在Rt△ADC中，由勾股定理得x2＝32－x2＋322，解得：x＝1即A(1，0)，OA＝AC＝1.∵sin∠CAD＝CDAC＝32，∴∠CAD＝60°即∠OAC＝180°－∠CAD＝120°.∵△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，∴∠CAB＝∠OAB＝60°，在Rt△AOB中，OA＝1，∠OAB＝60°，∴OB＝OAtan∠OAB＝3即B(0，3)．设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A，B的坐标代入解析式得：y＝－3x＋3.答案y＝－3x＋37．(2015·山东青岛，12，3)如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A、B的坐标分别为(1，1)，(－1，1)，把正方形ABCD绕点O逆时针方向旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分组成的正八边形的边长为________．解析由勾股定理可得A′C′＝22，所以A′O＝2，所以正八边形的边长＝2(2－1)＝22－2.答案22－28．(2015·四川泸州，16，3分)如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连结CH并延长交边AB于点F，连结AE交CF于点O.给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝22EH；③HO＝12AE；④BC－BF＝2EH.其中正确命题的序号是________(填上所有正确命题的序号)．解析在矩形ABCD中，AD＝BC＝2AB＝2CD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°.∵AH⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD＝2AH，∴AH＝AB＝CD.∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE＝2CD，∴AD＝DE，∴∠AED＝67.5°，∴∠AEB＝180°－45°－67.5°＝67.5°，第4页∴∠AED＝∠AEB，故①正确；设DH＝1，则AH＝DH＝1，AD＝DE＝2，∴HE＝2－1，∴22HE＝22(2－1)≠1，故②错误；∵∠AEH＝67.5°，∴∠EAH＝22.5°.∵DH＝DC，∠EDC＝45°，∴∠DHC＝67.5°，∴∠OHA＝22.5°，∴∠OAH＝∠OHA，∴OA＝OH，∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，∴OH＝OE，∴OH＝12AE，故③正确；∵AH＝DH，CD＝CE，在△AFH与△EHC中，∠AHF＝∠HCE＝22.5°，∠FAH＝∠HEC＝45°，AH＝CE，∴△AFH≌△EHC，∴AF＝EH.在△ABE与△AHE中，AB＝AH，∠BEA＝∠HEA，AE＝AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE＝EH，∴BC－BF＝(BE＋CE)－(AB－AF)＝(CD＋EH)－(CD－EH)＝2EH，故④错误．答案①③三、解答题9．(2015·山东泰安，28，10分)如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF＝BC.求证：(1)DF＝AE；(2)DF⊥AC.证明(1)延长DE交AB于点G，连结AD.第5页∵ED∥BC，E是AC中点，∠ABC＝90°，∴AG＝BG，DG⊥AB，∴AD＝BD∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，∠BAD＝45°，∠BDG＝∠ADG＝45°.∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED＝BC.又∵BF＝BC，∴BF＝DE，∴△AED≌△DFB，∴AE＝DF，(2)∵△AED≌△DFB，∴∠AED＝∠DFB，∴∠DFG＝∠DEC.∵∠DFG与∠FDG互余，∴∠DEC与∠FDG互余．∴DF⊥AC.10．(2015·贵州遵义，24，10分)如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连结EF交BD于O.(1)求证：BO＝DO；(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．(1)证明法一∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.又∠BOE＝∠DOF(对顶角相等)，BE＝DF，∴△BOE≌△DOF(AAS)．∴BO＝DO.法二连结DE，BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.又∵DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BO＝DO.第6页(2)解∵AB∥CD，∠A＝45°，∴∠CDG＝45°.∵EF⊥CD，∴∠DFG＝∠DFO＝90°，∴∠G＝45°，∴DF＝GF＝1.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴∠ODF＝45°，∴∠DOF＝45°，∴∠ODF＝∠DOF，∴OF＝DF＝1，∴OD＝2.由△BOE≌△DOF可知，OB＝OD＝2，∴BD＝22.∵∠ADB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°.∴AD＝BD＝22，即AD的长为22.B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2014·贵州黔西南，3，4分)已知等腰三角形ABC中，腰AB＝8，底BC＝5，则这个三角形的周长()A．21B．20C．19D．18解析由等腰三角形的定义可得AC＝AB＝8，则周长为8＋8＋5＝21.故选A.答案A2．(2014·山东滨州7，3分)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，2，3解析A中，42＋52＝41≠62，则不能构成直角三角形；B中，1.52＋22＝6.25＝2.52，能构成直角三角形；C中，22＋32＝13≠42，则不能构成直角三角形；D中，12＋(2)2第7页＝3≠32，则不能构成直角三角形．故选B.答案B3．(2014·四川德阳，10，3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，且CD＝52，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为()A.5＋12B.5＋1C.5＋2D.5＋3解析∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝5.∴AC2＋BC2＝AB2＝5.又∵△ABC的面积为1，即12AC·BC＝1，∴(AC＋BC)2＝AC2＋2AC·BC＋BC2＝5＋4＝9.∴AC＋BC＝3(舍去负值)．∴AC＋BC＋AB＝3＋5，即△ABC的周长为3＋5.故选D.答案D4．(2013·山东枣庄，6，3分)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为()A．20B．12C．14D．13解析∵△ABC是等腰三角形，AD平分∠BAC，∴CD＝BD＝4.又∵点E为AC的中点，∴CE＝AE＝5，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝12AB＝5，∴△CDE的周长＝CD＋CE＋DE＝4＋5＋5＝14.故选C.答案C5．(2013·山东威海，8，3分)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连结BD.下列结论错误的是()A．∠C＝2∠AB．BD平分∠ABCC．S△BCD＝S△BOD第8页D．点D为线段AC的黄金分割点解析∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝72°＝2∠A，∴A正确．∵OD是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴BD平分∠ABC，∴B正确．∵∠CBD＝∠A＝36°，∠C是公共角，∴△BCD∽△ABC，∴BDAC＝CDBC.又∵AD＝BD＝BC，∴ADAC＝CDAD，∴点D为线段AC的黄金分割点，∴D正确；由上述条件不能得出C，故选C.答案C6．★(2013·贵州安顺，6，3分)如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行()A．8mB．10mC．12mD．14m解析如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形．连结AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB－EB＝10－4＝6(m)，在Rt△AEC中，AC＝AE2＋EC2＝10(m)．故选B.答案B二、填空题7．(2014·江苏扬州，10，3分)若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为________cm.解析可分情况讨论：(1)若腰长为7cm，则三边为7cm，7cm，14cm，∵7＋7＝14，∴不能构成三角形，则假设不成立；(2)若腰长为14cm，则三边为7cm，14cm，第9页14cm，∵7＋14＞14，能构成三角形，则周长为7＋14＋14＝35(cm)．答案358．(2013·浙江义乌，15，4分)如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连结AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝________°.解析∵AD⊥BC于点D，D为BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠C.∵∠AOC＝125°，∵∠ODC＝90°，∴∠C＝35°，∠OBC＝35°，∵BO平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠C＝70°.答案709．(2013·浙江绍兴，15，5分)如图的钢