38边际函数与弹性分析

3.8.1边际分析3.8.2弹性分析3.8导数与微分在经济学中的应用3.8.3函数极值在经济管理中的应用3.8.0经济学中一些常见的函数1.需求函数如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为q是p的函数。记作()qfp则f称为需求函数.需求量的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．3.8.0经济学中一些常见的函数,QbaP线性需求函数：常见的需求函数：2cPbPaQ二次曲线需求函数：bpAeQ指数需求函数：0,ba幂函数：,0,0aQkPakabc(其中、、、A　0)例设某商品的需求函数为)0,(babaPQ.00时的价格时的需求量和讨论QP解,0bQP时它表示价格为零时的需求量为b，称为饱和需求量；,0abPQ时它表示价格为,时ab无人愿意购买此商品.2.供给函数如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为q是p的函数。记作()qgp则g称为供给函数.供给量的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性函数：0,,babaPQ其中幂函数：指数函数：0,0,kAkPQA其中0,0,bAaeQbP其中在同一个坐标系中作出需求曲线D和供给曲线S，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格.E0P0Q供需平衡点供需平衡价格总成本是生产一定数量产品q所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成.可变固总CCC支付固定生产要素的费用支付可变生产要素的费用3成本函数产量可变成本固定成本产量总成本平均成本01()()CqCCqCqqq即总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用q表示出售的产品数量，R表示总收益,表示平均收益，则R()(),RqRRqRq如果产品价格P保持不变，则PRPQQR,)(4.收益函数5.利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即)()()(QCQRQLxylimxxfxxfxyxfyx000,)()(),(瞬时变化率为平均变化率为对函数)('0xf3.8.1边际分析如果函数)(xfy在0x处可导，则在),(00xxx内的平均变化率为xy；在0xx处的瞬时变化率为)()()(lim0000xfxxfxxfx，经济学中称0()fx为0xyx关于在“边际上”处的变化率，简称边际变化率,或在0xx处的边际函数值.设在点0xx处，x从0x增加一个单位时y的增量y的准确值为01xxxy，当x改变量很小时，则由微分的应用知道，y的近似值为)()(01100xfxxfdyyxxxxxx这表明)(xf在点0xx处，当x产生一个单位的改变时，y近似改变)(0xf个单位．在应用问题中解释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．应用1.边际成本边际成本表示：若已经生产了q单位产品，再生产一个单位产品所增加的总成本．)()()()(1010QCCQCQCCQC即：之和，与可变成本等于固定成本总成本而边际成本则为：)(])([)(110QCQCCQC边际平均成本：.)()()()()(2称为平均边际成本的导数平均成本QQCQCQQQCQCQC例1设某产品产量为q(单位:吨)时的总成本函数(单位:元)为qqqC5070001)(．求(1)产量为100吨时的总成本；(2)产量为100吨时的平均成本；(3)产量为100吨时，总成本的边际成本(变化率)，并说明其经济意义；解(1)产量为100吨时的总成本为1005010070001)100(C2002(元)．(2)产量为100吨时的平均成本为22100)100()100(CC(元/吨).(3)产量为100吨时，总成本的边际成本即变化率为100)5070001()100(qqqC5.9)257(100qq(元).经济含义是：当产量为100吨时，再多生产一吨所增加的成本为9.5元.2.边际收益定义()().RqRq总收益函数的导数称为边际收益函数经济意义为:当销售量达到q时,再多销售一个单位产品所增加的销售收入．()()()()()()ppfqRqpqqfqRqfqqfq设为价格，需求函数为，因此，例2设某产品的需求函数为520QP，其中P为价格，Q为销售量，求销售量为15个单位时的总收益，平均收益与边际收益．并解释其经济意义解520)(2QQQQPR总收益为1715255)(1515QQQQRR平均收益255)520(1515215QQQQR总收益个单位时销售14)5220()('1515QQQQR边际收益表示当销售量为15个单位时，再增加（或减少）销售一个单位，所增加（或减少）总收益为14个单位3.边际利润设某产品的销售量为q时的利润函数L=L(q)，当L(q)可导时，称为销售量为q时的边际利润：)(qL)()(])()([)(qCqRqCqRqLP146例3某商品每公斤售价p元,需求函数为q=800-100p,其中q为月产量,生产成本c(q)=200+3q.求边际利润并说明其经济意义.(1)800100qp8100qp2()(8)8100100xqRqqpqq2()()()5200100qLqRqCqq解()550qLq（2）经济意义：如：当q=25时，边际利润为4.5元/每公斤。即当月产量为25公斤时，再多生产1公斤，可以多得利润4.5元。当q=100时，边际利润为3元/每公斤。当q=250时，边际利润为0元/每公斤。即当月产量为250公斤时，再多生产的商品不能再为企业增加利润；产量超过250时，多生产的商品将减少企业利润。则边际利润2()()()5200100qLqRqCqq1、定义：xx/yy/)(xfy设函数，，xxxyyy（1）自变量的相对改变量：（2）因变量的相对改变量：3.8.2弹性分析P147称作函数在点处的弹性.记作)(xfx则yxxyxxyyxx00limlim定义对于函数,如果极限)(xfy存在，xxyyx0limEyExyxxf)(意义：函数y=f(x)在点x处的弹性表示在点x处,当自变量改变了1%时，因变量改变了.%1%EyExEyEx%EyEx()EyEfxExEx或这表明)(xf在点0xx处，当x产生1%的改变时，y改变0xxEyEx%．0000000lim()()xxxEyyyxfxExxxfx即1%0%xxEyEx1%1%例4求函数的弹性函数值320xy解22()()xxEyxfxExfx32326020xxxx2.xEyEx21%%xxy它反映了在时，当增加（或减少）时，函数相应地增加（或减少）32常见函数的弹性（a,b,c,为常数）(1)()0()(2)()()(3)()()(4)()ln(ln)(5)()lnln(sin)(cos)(6)cot,tanxxEcfxCExEaxbaxfxaxbExaxbEaxfxaxExEbafxbaxaExEbaxxfxbaxExaxExExxxxxExEx常数函数的弹性线性函数的弹性幂函数的弹性指数函数的弹性对数函数的弹性三角函数1、需求弹性1)需求的价格弹性需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为0l.dpqpdqpEimpqdpq()().()ppfpfp定义需求弹性为这表明在点0pp处，当价格p增加1%的改变时，需求量减少%．若=1，此时商品需求变动的百分比与价格变动的百分比相等，称为单位弹性或单一弹性。若1，此时商品需求变动的百分比低于价格变动的百分比，称为缺乏弹性或低弹性。若1，此时商品需求变动的百分比高于价格变动的百分比，称为富于弹性或高弹性。例5设某商品的需求函数为，求（1）需求弹性函数；（2）p=3,p=4,p=5时的需求弹性，并说明其经济意义。5)(pepQ解:(1)()()QpQpQp－5515pppee－－5p(3)0.61（2）p=3时，价格上涨1%，需求减少0.6%；(5)1,p=5时，价格上涨1%，需求减少1%；即这时需求与价格变化的幅度相同，属于单一弹性(6)1.21p=6时，价格上涨1%，需求减少了1.2%；即这时需求变化的幅度大于价格变化的幅度，属于高弹性即这时需求变化的幅度小于价格变化的幅度，属于低弹性。收益函数),(pRR().()ERpRpEpRp2.收益弹性经济意义：在点p处，当价格改变了1%时，收益改变了收益弹性为P151%EREp（1）若（需求变化幅度小于价格变化幅度），用需求弹性分析总收益变化：)()(pQppR))()(1)(()()()(pQppQpQpQppQpR()(1())Qpp()1p,0)(pR这时价格上涨,总收益增加:价格下跌,总收益减少.即这时可以通过提价来增加收益。即R(p)为单调上升函数。P151))()(1)(()()()(pQppQpQpQppQpR()(1())Qpp10)(pR)(pR这时价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加。即这时可以通过降价（薄利多销）来增加收益。（2）若（需求变化幅度大于价格变化幅度），，即为单调下降函数。10)(pR即这时的p使得总收益R(p)取到最大值。这时的p是R’(p)0与R’(p)0的分界点。（3）若，则。()()(1())RpQpp综上所述，总收益与需求弹性的关系如下图：R0111(需求弹性)例6设某商品的需求函数为，求（1）p=6时需求弹性；（2）p=6时，价格上涨1%，总收益是增加还是减少，将变化百分之几。（3）p为何值时，总收益最大？最大总收益是多少？212)(ppQ解:(1)()()QpQpQp12122pp24pp61(6)2463Q1(6)13Q(2)∴p=6时，若价格上涨，总收益增加。212)()(2pppQppR又则总收益弹性2()(12)()122ERppRpppEpRpppp2422462/30.67pEREp即p=6时，若价格上涨1%，总收益约增加0.67%。61(6)0.67pEREp(3)124Qpp令12p∴p=12时，总收益最大。最大总收益为R（12）＝72。1、最大利润问题3.8.3函数极值在经济管理中的应用)()()()()()(QCQRQLQLQCQRQ可表示为则总利润，和的函数，分别记为示为产量总成本都可以表在经济学中，总收入和例7假设某种商品的需求量Q是单价P(单位:元)的函数：PQ8012000；商品的总成本C是需求量的函数：QC5025000，每单位商品需纳税2元，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润.解)5025000()2)(8012000(QPPL64900016160802PP16160160)(PPL()0101LPP令得且是唯一可能极值点，元时，故当又因101,0160)101(PL)(167080)101()(元有最大值，且最大值为LPL例8已知某厂生产x件产品的成本为4020025000)(2xxxC，问要使平均成本最小，应生产多少产品？如果每件产品以500元售出，要使利润最大，应生产多少