3D应力场的可视化技术研究

河北大学2010届本科生毕业论文（设计）3D应力场的可视化技术研究摘要众所周知，场是现实世界中的物理量与空间或时间关系的一种表现形式，它是物质存在的一种形态。物理量在空间区域内的分布可表示为空间位置的函数，这样的函数称为场。在空间区域内，如果某物理量为标量函数，那么这个物理量就称为数量场或标量场；如果为向量函数，那么这个物理量称为向量场或矢量场；如果为张量函数，那么这个物理量就称之为张量场。张量场广泛地存在于自然界中，其信息量丰富，数据量庞大，难于表达。力学工程计算中有很多问题是张量场问题，比如布西内斯克问题中的应力场就是典型的张量场，这对于进一步的理解场中各物理量之间的关系和规律带来了很大的困难。张量场可视化旨在能够直观的表现场中应力的分布情况，进而揭示场中各物理量之间的关系和规律，具有重要的现实意义和工程价值。本文以弹性理论为基础，导出应力张量可视化模型。并用矢量点图标和标量点图标来表达一点的应力状态。关于应力张量场的可视化，本文介绍了应力张量场的可视化的步骤，并以弹性理论中的布西内斯克等问题为例，说明了应力张量场的可视化的基本步骤，给出了可视化结果。关键词：应力状态点图标张量场可视化装订线河北大学2010届本科生毕业论文（设计）ResearchforVisualTechniqueof3DStressFieldABSTRACTAsweknow,afieldinthenaturalworldisarepresentationformofphysicalquantitywithrespecttospaceortime;itisastateofmaterialexistence.Aphysicalquantitycanbeexpressedwithafunctiondefinedinathreedimensionaldomain,calledafield.Ifthephysicalquantityisascalarfunction,itcalledascalarfield;ifthephysicalquantityisavectorfunction,itcalledavectorfield;ifthephysicalquantityisatensorfunction,itcalledatensorfield.Thetensorfieldshavecommonexistenceinthenaturalworld,whichcontainalotofdatasetsandalargeofinformation,hardtorepresent.Inmechanicsandengineeringcomputing,manyproblemsrefertothetensorfield,forexample,thestressfieldofBoussinesqproblemisatensorfield.Thishasledtogreatdifficultiesforustounderstandthelawofphysicalrelationship.Visualizationoftensorfieldaimstoindicatethephysicallaw,whichhasgreattheoryandengineeringsignificance.Basedonelastictheory,thispapergetsthestresstensorvisualizationmodels;gainsthescalariconandvectoriconrepresentationtodescribeapointofstressstation;givesthevisualizationofthetensorfieldtakingtwotypicalexamples.Keywords：StressstateIconTensorfieldVisualization装订线河北大学2010届本科生毕业论文（设计）目录一引言………………………………………………………………01二应力张量的可视化模型…………………………………………022.1应力张量的矢量点图表达………………………………………022.11描述方程……………………………………………………………022.12应力张量的矢量点图………………………………………………032.2应力张量的标量点图表达………………………………………062.21描述方程……………………………………………………………062.2应力张量的标量点图………………………………………………06三应力场的可视化表达……………………………………………103.1半空间无限体受法向集中力……………………………………103.2半空间无限体边界上受切向集中力………………………………15四结语………………………………………………………………21参考文献…………………………………………………………………22致谢………………………………………………………………………23装订线装订线装订线河北大学2010届本科生毕业论文（设计）1一引言二阶张量场是连续介质力学中最常见的一类张量，在众多科学技术和工程领域有着广泛的应用。张量场具有包含信息量大和内部机制复杂的特点。三维二阶张量有九个分量，它们综合效果反映了张量场固有的物理性质。过去人们大多采用数值模拟和实验的方法来认识和学习它们。现在随着计算机硬件的发展，计算机在科学技术和工程中的应用已相当普遍。随着计算机可视化技术的发展，可以更直观的描述张量场的性质。对于人们学习和认识它们更加快捷和方便。当今科学计算可视化的研究对象主要集中在三维数据场的可视化，其来源于固体力学、流体力学、结构工程有限元分析、医学等领域中的数据集[3-8]，其可表示为分布于体空间的单值函数),,(zyxfV，当V为标量时则为标量场，当V为矢量时则为矢量场。目前，标量场的可视化则采用常规的可视化技术，相对也比较成熟；而矢量场的可视化的研究虽已取得一些成就，但也不尽人意，主要是因为找到矢量场数据显而易见的可视化表达方式比较困难。例如，流场可以采用流线来表达，流线的切向方向表达流体质点的速度方向，但速度的大小无法同时表达清楚。目前，人们采用的方法一般是将矢量场中的矢量转化为标量来表达。同三维标量场比较，三维矢量场的可视化更有难度，而张量场的可视化则更具挑战性，目前仅处于起步阶段[9-12]。应力张量有九个标量，考虑应力张量的对称性，独立的参数只有六个。目前张量场可视化的方法是在张量场中取有限个离散的点，然后分别在一个点处将张量用一个图标来表示，其目的是显示尽可能多的物理信息，进而表现出张量场的性质。本文将应力张量的可视化的用两类点图标表达，一种为标量点图标，即把某个平面上的应力的模长绘制于其法线方向上，用法线方向的线段的长度来表示其大小；另一种方法为矢量点图标，即将某平面上的应力的模长绘于其真实方向上，从而表达其真实的大小和方向。综合这两种方法并通过这两种方法的比较来表现应力张量场的性质。本文先从应力张量的可视化模型进行分析，利用物体内一点处任意斜截面上总应力、正应力和剪应力的公式导出应力张量的矢量点图的可视化模型和应力张量的标量点图的可视化模型。并对其进行分析，讨论其利弊。最后，以某些典型应力场为例，给出其应力张量场的可视化结果。装订线河北大学2010届本科生毕业论文（设计）2二应力张量的可视化模型2.1应力张量的矢量点图表达物体内一点处在某斜面上的应力是矢量，不同法向斜面上的应力大小和方向是不同的，为了描述应力的大小和方向，以原点为始点，将应力矢量的末端，绘出其末端的轨迹，一般为一空间曲面，称为应力张量的点图（标）。2.1.1描述方程(1)总应力矢量点图的描述方程弹性体内一点的应力状态可用应力张量表达。设弹性体受载后，一点(,,)Txyzr处的应力张量为xxyxzijyxyyzzxzyzP由Cauchy应力公式，对于过点(,,)Txyzr，单位外法向为(,,)TlmnN的任意斜面上的总应力为NPpN（2-1-1）或NxxxyxzNNyyxyyzNzzxzyzplpmpnp（2-1-2）其中,,lmn为N的三个方向余弦，满足2221lmn（2-1-3）总应力Np的模Np为222NNxNyNzpppp（2-1-4）(2)正应力矢量点图的描述方程斜面上的正应力N的大小（含正负号）为装订线河北大学2010届本科生毕业论文（设计）3()NNPNpNN（2-1-5）xxyxzNyxyyzzxzyzllmnmn（2-1-6）斜面上的正应力的矢量形式为NNNlmnσN（2-1-7）其中N按（2-1-6）计算。(3)剪应力矢量点图的描述方程由NNNτpσ，NNNτ=pN（2-1-8）()NNPIτ=N（2-1-9）其中ijI为单位张量，N按（2-1-6）计算。（2-1-9）写成矩阵形式为NxxNxyxzNNyyxyNyzzxzyzNNzlmnτ（2-1-10）剪应力Nτ的模N为222NNxNyNz（2-1-11）也可按下式计算222222NNNNxNyNzNpppp（2-1-12）其中N按（2-1-6）计算。2.1.2应力张量的矢量点图由应力张量总应力、正应力和剪应力矢量点图的描述方程（2-1-2）、（2-1-7）、（2-1-10）及其（2-1-6）式，可分别得到应力张量总应力、正应力和剪应力的三维矢量点图。下面以应力张量213;171;313ij为例，给出三维应力张量矢量装订线河北大学2010届本科生毕业论文（设计）4点图的可视化结果。见图2-1，图2-2和图2-3。(1)总应力的矢量点图图2-1三维应力张量总应力矢量点图(2)正应力的矢量点图图2-2三维应力张量正应力矢量点图装订线河北大学2010届本科生毕业论文（设计）5(3)剪应力的矢量点图图2-3三维应力张量切应力矢量点图由此可见，总应力矢量点图为一椭球面，即Lame应力椭球，这与弹性理论的结论是相符的。由总应力矢量点图——Lame应力椭球，可以直观地看到椭球的三个主轴方向分别为三个主应力的方向，椭球面的三个半轴大小分别为三个主应力的大小。但总应力矢量点图并不能直观的给出总应力所在截面的法向。由正应力矢量点图，可以看到正应力的三个极值及其方向，恰为三个主应力的方向；由剪应力矢量点图，可以清楚地看到正应力的三个极值方向，恰为剪应力为零的方向。类似总应力矢量点图，正应力矢量点图和剪应力矢量点图依然不能直观的给出正应力和剪应力所在截面的法向。由此可见，诸如总应力，正应力和剪应力均为矢量，是需要由大小和方向才能完全确定的物理量，物体的变形必然与应力的方向有关，而三维应力张量的矢量点图，可以清楚地表达不同截面上的总应力，正应力和剪应力矢量及其大小，这对于考查材料的变形及其本构关系具有重要价值。但应力张量的矢量点图的缺陷是无法表达其对应的截面法向。装订线河北大学2010届本科生毕业论文（设计）62.2应力张量的标量点图表达前面讨论了应力张量的矢量点图的描述方程及其可视化表达。以坐标原点为始点，到应力张量总应力、正应力和剪应力矢量点图表面上任一点的矢量，分别代表某一截面上的总应力、正应力和剪应力矢量，其长度分别代表总应力、正应力和剪应力矢量的大小，但截面的法向无法用应力张量的矢量点图表达。为了同时给出总应力、正应力和剪应力矢量的大小，及其对应截面的法向，可采用下列所谓应力张量的标量点图表达。换句话说，应力张量的总应力、正应力和剪应力标量点图，即分别将总应力、正应力和剪应力矢量的模