2016年全国统一高考数学试卷(新课标II)(文科)

高中数学试卷第1页，共14页2016年全国统一高考数学试卷（新课标II）（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A.{-2，-1，0，1，2，3}B.{-2，-1，0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}2.设复数z满足z+i=3-i，则=（）A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i3.函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A.y=2sin（2x-）B.y=2sin（2x-）C.y=2sin（x+）D.y=2sin（x+）4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A.12πB.πC.8πD.4π5.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）A.B.1C.D.26.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（）A.-B.-C.D.2高中数学试卷第2页，共14页7.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A.B.C.D.9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A.7B.12C.17D.3410.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=11.函数f（x）=cos2x+6cos（-x）的最大值为（）A.4B.5C.6D.712.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（）A.0B.mC.2mD.4m二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量=（m，4），=（3，-2），且∥，则m=______．14.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值为______．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=______．16.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：高中数学试卷第3页，共14页“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．18.某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′-ABCFE体积．20.已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；高中数学试卷第4页，共14页（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．21.已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|=|AN|时，证明：＜k＜2．22.如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．23.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．24.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．高中数学试卷第5页，共14页2016年全国统一高考数学试卷（新课标II）（文科）答案和解析【答案】1.D2.C3.A4.A5.D6.A7.C8.B9.C10.D11.B12.B13.-614.-515.16.1和317.解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得：，∴an=；（Ⅱ）∵bn=[an]，∴b1=b2=b3=1，b4=b5=2，b6=b7=b8=3，b9=b10=4．故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．18.解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保，P（A）的估计值为：=；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为：=；（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为=．=1.1925a．19.（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，∴EF∥AC，且EF⊥BD，又D′H⊥EF，D′H∩DH=H，∴EF⊥平面DD′H，∵HD′⊂平面D′HD，∴EF⊥HD′，∵EF∥AC，∴AC⊥HD′；高中数学试卷第6页，共14页（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=，AD=AB=5，∴DE=5-=，∵EF∥AC，∴====，∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4-3=1，∵HD′=DH=3，OD′=2，∴满足HD′2=OD′2+OH2，则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，即OD′⊥底面ABCD，即OD′是五棱锥D′-ABCFE的高．底面五边形的面积S=+=+=12+=，则五棱锥D′-ABCFE体积V=S•OD′=××2=．20.解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx-4（x-1）．f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•-4，则f′（1）=ln1+2-4=2-4=-2，即函数的切线斜率k=f′（1）=-2，则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1）=-2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），∴f′（x）=1++lnx-a，∴f″（x）=，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）=2-a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．21.解：（I）由椭圆E的方程：+=1知，其左顶点A（-2，0），∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，高中数学试卷第7页，共14页∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a-2，a），∵点M在E上，∴3（a-2）2+4a2=12，整理得：7a2-12a=0，∴a=或a=0（舍），∴S△AMN=a×2a=a2=；（II）设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=-（x+2），由消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，∴xM-2=-，∴xM=2-=，∴|AM|=|xM-（-2）|=•=∵k＞0，∴|AN|==，又∵2|AM|=|AN|，∴=，整理得：4k3-6k2+3k-8=0，设f（k）=4k3-6k2+3k-8，则f′（k）=12k2-12k+3=3（2k-1）2≥0，∴f（k）=4k3-6k2+3k-8为（0，+∞）的增函数，又f（）=4×3-6×3+3-8=15-26=-＜0，f（2）=4×8-6×4+3×2-8=6＞0，∴＜k＜2．22.（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DFC∽Rt△EDC，∴=，∵DE=DG，CD=BC，∴=，又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，∴△GDF∽△BCF，高中数学试卷第8页，共14页∴∠CFB=∠DFG，∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°，∴B，C，G，F四点共圆．（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．23.解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心C（-6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．24.解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2，解得：x＞-1，∴-1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（-1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，高中数学试卷第9页，共14页即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【解析】1.解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：D．先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.解：∵复数z满足z+i=3-i，∴z=3-2i，∴=3+2i，故选：C根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3.解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为-2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=-满足要求，故y=2sin（2x-），故选：A．根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．本题考查的知识点是由y=Asi