2016年春高中数学第2章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式同步练习新人教B版必修5

-1-【成才之路】2016年春高中数学第2章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式同步练习新人教B版必修5一、选择题1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．10[答案]A[解析]设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a9＝a1＋a1＋8d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2a5＝10，∴a5＝5.2．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]设公差为d，由题意得a1＋a1＋4d＝10a1＋3d＝7，解得d＝2.3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为()A．49B．50C．51D．52[答案]D[解析]由2an＋1＝2an＋1得an＋1－an＝12，∴{an}是等差数列首项a1＝2，公差d＝12，∴an＝2＋12(n－1)＝n＋32，∴a101＝101＋32＝52.4．等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60B．61C．62D．63[答案]B-2-[解析]设公差为d，由题意，得a1＋4d＝33a1＋44d＝153，解得a1＝21d＝3.∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.令201＝3n＋18，∴n＝61.5．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A．3B．2C．13D．12[答案]A[解析]设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝13＋2＋13－2＝(3－2)＋(3＋2)＝23，∴x＝3，故选A．6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11B．12C．13D．14[答案]C[解析]设公差为d，由题意，得a1＋2d＝7a1＋d＋6＝a1＋4d，解得a1＝3d＝2.∴a6＝a1＋5d＝3＋10＝13.二、填空题7．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________.[答案]42[解析]a1＋a2＋a3＝15，a2＝5，d＝3，∴a5＝a2＋3d＝14，a4＋a5＋a6＝3a5＝42.8．等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为__________．[答案]4[解析]2(2x＋1)＝x＋(4x＋2)，∴x＝0，∴a1＝0，a2＝1，d＝a2－a1＝1，∴a5＝a1＋4d＝4.三、解答题9．已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．-3-[解析]设此数列为{an}，则首项a1＝6，公差d＝3－6＝－3，∴an＝a1＋(n－1)d＝6－3(n－1)＝－3n＋9.∴a100＝－3×100＋9＝－291.10．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？[解析]设首项为a1，公差为d，由已知得a1＋－d＝33a1＋－d＝217，解得a1＝－23d＝4，∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，∴153是所给数列的第45项．一、选择题1．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是()A．d875B．d325C．875d325D．875d≤325[答案]D[解析]由题意a101a9≤1，∴125＋9d1125＋8d≤1，∴875d≤325.2．设等差数列{an}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则n是()A．48B．49C．50D．51[答案]C[解析]a1＝13，a2＋a5＝2a1＋5d＝23＋5d＝4，-4-∴d＝23，又an＝a1＋(n－1)d＝13＋23(n－1)＝33，∴n＝50.3．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列{1an＋1}是等差数列，则a11等于()A．0B．12C．23D．－1[答案]B[解析]令bn＝1an＋1，由题设b3＝1a3＋1＝13，b7＝1a7＋1＝12且{bn}为等差数列，∴b7＝b3＋4d，∴d＝124.∴b11＝b7＋4d＝12＋16＝23，又b11＝1a11＋1，∴a11＝12.4．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1、d2，则d1d2等于()A．32B．23C．43D．34[答案]C[解析]由题意可知：d1＝b－a3，d2＝b－a4，∴d1d2＝43，故选C．二、填空题5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．[答案]6766[解析]设此等差数列为{an}，公差为d，则a1＋a2＋a3＋a4＝3a7＋a8＋a9＝4，-5-∴4a1＋6d＝33a1＋21d＝4，解得a1＝1322d＝766，∴a5＝a1＋4d＝1322＋4×766＝6766.6．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.[答案]20[解析]设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.三、解答题7．(2016·银川高二检测)已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求{bn}的通项公式；(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？[解析](1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)∵数列{an}是等差数列，∴数列{bn}也是等差数列，首项b1＝－7，公差d＝－27－(－7)＝－20，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.(3)b503＝13－20×503＝－10047，设它是{an}中的第m项，则－10047＝8－5m，解得m＝2011，即{bn}中的第503项是{an}中的第2011项．8.已知函数f(x)＝3xx＋3，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N*)确定．(1)求证：{1xn}是等差数列；(2)当x1＝12时，求x100的值．[分析]按照等差数列的定义，只需证明1xn－1xn－1是常数，即可说明{1xn}是等差数列．-6-[解析](1)∵xn＝f(xn－1)＝3xn－1xn－1＋3(n≥2，n∈N*)，∴1xn＝xn－1＋33xn－1＝13＋1xn－1，∴1xn－1xn－1＝13(n≥2，n∈N*)．∴数列{1xn}是等差数列．(2)由(1)知{1xn}的公差为13，又x1＝12，∴1xn＝1x1＋(n－1)·13＝13n＋53.∴1x100＝1003＋53＝35，即x100＝135.