2016年春高中数学第2章数列2.2等差数列第3课时等差数列的前n项和同步练习新人教B版必修5

-1-【成才之路】2016年春高中数学第2章数列2.2等差数列第3课时等差数列的前n项和同步练习新人教B版必修5一、选择题1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()A．8B．7C．6D．5[答案]D[解析]∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.2．(2014·福建理，3)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14[答案]C[解析]本题考查等差数列的通项公式．由a1＝2，S3＝12可得d＝2，∴a6＝a1＋5d＝12.3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝()A．38B．20C．10D．9[答案]C[解析]由等差数列的性质，得am－1＋am＋1＝2am，∴2am＝a2m，由题意，得am≠0，∴am＝2.又S2m－1＝m－a1＋a2m－12＝2amm－2＝2(2m－1)＝38，∴m＝10.4．数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于()A．160B．180C．200D．220[答案]B[解析]∵{an}是等差数列，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，-2-∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54.∴3(a1＋a20)＝54，∴a1＋a20＝18.∴S20＝a1＋a202＝180.5．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S15[答案]C[解析]由已知a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为定值，则S13＝a1＋a132＝13a7也为定值，故选C．6．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是()A．5B．4C．3D．2[答案]C[解析]设等差数列为{an}，公差为d，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，∴5d＝15，∴d＝3.二、填空题7．在等差数列{an}中，a1＞0，d＝12，an＝3，Sn＝152，则a1＝________，n＝________.[答案]23[解析]由题意，得3＝a1＋n－12152＝na1＋12nn－12，解得a1＝2n＝3.8．设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.[答案]25[解析]∵a4－a1＝3d，∴3d＝6，∴d＝2，∴S5＝5a1＋12×5×4×d＝5＋12×5×4×2＝25.-3-三、解答题9．设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.(1)求通项an；(2)若Sn＝242，求n的值．[解析](1)设公差为d，则a20－a10＝10d＝20，∴d＝2.∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，∴a1＝12.∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.(2)Sn＝na1＋an2＝nn＋2＝n2＋11n＝242，∴n2＋11n－242＝0，∴n＝11.10．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝n[1＋－2n]2＝2n－n2.进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.又k∈N*，故k＝7为所求．一、选择题1．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为()A．24B．26C．27D．28[答案]B[解析]设该等差数列为{an}，-4-由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，∴4(a1＋an)＝21＋67＝88，∴a1＋an＝22.∴Sn＝na1＋an2＝11n＝286，∴n＝26.2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2[答案]A[解析]本题考查数列的基础知识和运算能力．S3＝4a3a7＝－2⇒3a1＋3d＝4a1＋8da1＋6d＝－2⇒a1＝10d＝－2.∴a9＝a1＋8d＝－6.3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()A．310B．13C．18D．19[答案]A[解析]据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，∴S6S12＝3k10k＝310.4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200＝()A．100B．101C．200D．201[答案]A[解析]∵OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A、B、C三点共线，-5-∴a1＋a200＝1，S200＝a1＋a2002＝100.二、填空题5．已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n＝________.[答案]27[解析]Sn＝na1＋an2＝18，由S3＝1和an＋an－1＋an－2＝3a1＋a2＋a3＝1，得3(a1＋an)＝4，故a1＋an＝43，故n＝36a1＋an＝3643＝27.6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－8，则通项公式an＝________.[答案]－7n＝2n－1n[解析]当n＝1时，a1＝S1＝－7；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－8－(n－1)2＋8＝2n－1.又a1＝－7不满足上式，∴an＝－7n＝2n－1n.三、解答题7．在等差数列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.[解析](1)解法一：由已知条件得a5＋a10＝2a1＋13d＝58a4＋a9＝2a1＋11d＝50，解得a1＝3d＝4.∴S10＝10a1＋－2×d＝10×3＋10×92×4＝210.解法二：由已知条件得-6-a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50，∴a1＋a10＝42，∴S10＝a1＋a102＝5×42＝210.解法三：由(a5＋a10)－(a4＋a9)＝2d＝58－50，得d＝4由a4＋a9＝50，得2a1＋11d＝50，∴a1＝3.故S10＝10×3＋10×9×42＝210.(2)S7＝a1＋a72＝7a4＝42，∴a4＝6.∴Sn＝na1＋an2＝na4＋an－32＝n＋2＝510.∴n＝20.8．甲、乙两物分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1min走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1min多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？[分析]可将问题化为等差数列问题．[解析](1)设nmin后第1次相遇，依题意有2n＋nn－2＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7，n＝－20(舍去)．第一次相遇是在开始运动后7min.(2)设nmin后第二次相遇，依题意有2n＋nn－2＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－6×70＝0，解得n＝15或n＝－28(舍去)．第二次相遇是开始运动后15min.