2016春《课时夺冠》九年级数学人教版下册课件锐角三角函数专题十二

专题十二锐角三角函数1.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB,cosA=，求k的值.解：过A作AE⊥x轴于点E，x2xk33过B作BF⊥x轴于点F，∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠BOF+∠EOA=90°,∵∠BOF+∠FBO=90°,∴∠EOA=∠FBO,EF∵∠BFO=∠OEA=90°,∴△BFO∽△OEA,∴S△BFO∶S△OEA=2∶1,∴S△OEA=1,∴S△BFO=2，则k=-4.在Rt△AOB中，cos∠BAO=,33ABAO设AB=x,则OA=x,根据勾股定理得:3BO=x,∴OB∶OA=∶1,22∵A在反比例函数y=上,x22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AC在x轴上，边BC⊥x轴，双曲线y=(x0)与边BC交于点D（4,m），与边AB交于点E（2，n）.(1)求n关于m的函数关系式;(2)若BD=2,tan∠BAC=，求k的值和点B的坐标.xk21解：（1）n=2m;(2)过点E作EF⊥BC于点F，∵由（1）可知n=2m,∴DF=m.∵BD=2,∴BF=2-m.∵点D(4,m),点E(2,n)，∴EF=4-2=2.∵EF∥x轴，解得m=1,∴D(4,1),∴k=4×1=4,B(4,3).∴tan∠BAC=tan∠BEF=,212m2EFBFF3.如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=,BP=,以点P为直角顶点的直角三角形的两条直角边分别交线段DC，BC于点E，F，连接EF，求tan∠PEF的值.解：过点E作EM⊥AB于点M，∵∠PEM+∠EPM=90°,∠FPB+∠EPM=90°,∴∠PEM=∠FPB,又∵∠EMP=∠PBF=90°,∴△EPM∽△PFB,∴,2512ADBPMEBPEPPF∴tan∠PEF=.2512EPPFM35544.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG.(1)求证：BF=BG;(2)若tan∠BFG=,S△CGE=6,求AD的长.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠DCG=90°，∵E是CD的中点,∴DE=CE，又∵∠DEF=∠CEG，∴△EDF≌△ECG,∴EF=EG,∵BE⊥FG,∴BE是FG的中垂线，∴BF=BG.33(2)∵BF=BG,∴∠BFG=∠G,∴tan∠BFG=tan∠G=,3设CG=x,CE=x,则S△CGE=x2=6,3233解得x=2,∴CG=2,CE=6,33由射影定理得EC2=BC·CG,∴BC=6,∴AD=6.335.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP,交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a.(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE；(2)当a=3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由;(3)当tan∠PAE=时，求a的值.解：(1)设CE=y,∵四边形ABCD是矩形，21∴AB=CD=4,BC=AD=5,∠B=∠BCD=∠D=90°,∵BP=a,CE=y,∴PC=5-a,DE=4-y,∵AP⊥PE,∴∠APE=90°,∠APB+∠CPE=90°,∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠CPE=∠BAP,;4a5ay,a54ya,PCABCEBP2∴△ABP∽△PCE,∴,25DE,23CE2343532，即(2)当a=3时,y=∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BF,∴△AED∽△FEC,∵四边形ABCD是矩形，∴四边形APFD是平行四边形,在Rt△APB中，AB=4，BP=3，∠B=90°，∴AP=5=PF,∴四边形APFD是菱形.解得a=3,y=1.5或a=7,y=3.5,∴a=3或7.∴∴CF=3,∴PF=PC+CF=5,,CEDECFAD(3)根据tan∠PAE=可得=2,易得△ABP∽△PCE,21PEAP∴或2a54ya,2PCABCEBP,25a4ya6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,⊙D的半径为1.现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D相切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，求tan∠EFO的值.解：连接DH,∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，.5BD21∵O是对称中心，∴OD=∵OH是⊙D的切线，∴DH⊥OH,∴BD==25,2224∵∠ADB=∠HOD,∴OE=ED.设EH为x,则ED=OE=OH-EH=2-x,又∵∠FOE=∠DHO=90°,∴FO∥DH,∴∠EFO=∠HDE,∵DH=1,∴OH=2,∴tan∠ADB=tan∠HOD=,21∴12+x2=(2-x)2,解得x=,EH=，4343∴tan∠EFO=tan∠HDE=.43DHEH7.如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E，F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线l于B，C两点.(1)求证：∠ABC+∠ACB=90°;(2)若⊙O的半径R=5,BD=12，求tan∠ACB的值.解：（1）证明：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°.(2)连接OD，则OD⊥BD，过点E作EH⊥BC，垂足为点H，∴EH∥OD.∵EF∥BC,EH∥OD,OE=OD,∴四边形EODH是正方形.∴EH=HD=OD=5,∵BD=12,∴BH=7,,57EHBH在Rt△BEH中,tan∠BEH=又∵∠ABC+∠BEH=∠ABC+∠ACB=90°,∴∠ACB=∠BEH,∴tan∠ACB=.57H8.如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于C，点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于点E，且PD=PE.(1)求证：PD是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为4,PC=8,设OC=x,PD2=y.①求y关于x的函数解析式;②当x=时，tanB的值.33解：(1)证明：连接OD.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵PD=PE，∴∠PDE=∠PED，∠PDO=∠PDE+∠ODE=∠PED+∠OBD=∠BEC+∠OBD=90°，∴PD⊥OD，∴PD是⊙O的切线.3(2)①连接OP，在Rt△POC中，OP2=OC2+PC2=x2+192,在Rt△PDO中，PD2=OP2-OD2=x2+144.∴在Rt△ECB中，.31333CBCEtanB=∴y=x2+144(0≤x≤4).3②当x=时,y=147,3∴PD=7,EC=,33∵CB=3,3