3静态电磁场及其边值问题的解

第三章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场：当场源(电荷、电流)不随时间变化时，所激发的电场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场，是电磁场的一种特殊形式。时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场；静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立。三种静态电磁场：静电场：由静止电荷产生；恒定电场：由导电媒质中的恒定运动电荷形成；恒定磁场：由恒定电流产生。•电磁场与电磁波•3.1静电场分析3.2导电媒质中的恒定电场分析3.3恒定磁场分析3.4静态场的边值问题及解的惟一性原理3.5镜像法3.6分离变量法3.7有限差分法第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•3.1.1静电场的基本方程和边界条件3.1.2电位函数3.1.3导体系统的电容3.1.4静电场的能量3.1.5静电力3.1静电场分析第三章静态电磁场及其边值问题的解静电场是由静止电荷激发的，是电磁场的一种重要的、特殊的形式。•电磁场与电磁波•3.1.1静电场的基本方程和边界条件0dCSVEdlDdSV积分形式：微分形式：0ED本构关系：ED基本方程表明：静电场是一个有通量源(静止电荷)而没有旋涡源的矢量场。一、基本方程第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•二、边界条件1.电场强度的边界条件第三章静态电磁场及其边值问题的解n12()0eEE1t2t0EE或表明在两种媒质的分界面上，电场强度的切向分量是连续的。2.电位移矢量的边界条件n12()SeDD1n2nSDD或表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解n12()0eDD1n2nDD或此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由边界条件：和，可得场矢量在分界面上的折射关系：若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则媒质2媒质121212E1Ene11n22nEE1t1n1122t2n2/tantan/EEEE1t2tEE•电磁场与电磁波•3.1.2电位函数一、电位和电位差第三章静态电磁场及其边值问题的解电位函数00EuE可以用一个标量函数的梯度表示引入电位函数（简称为电位，单位为V）：E电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；负号表示电场指向电位减小最快的方向。电位的单位是V，因而电场强度的单位是V/m。•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解电位函数的求解33'4|'|1'|'||'|qrrErrrrrrrr14|'|qErr点电荷产生的电位14|'|qCrr点电荷q产生的电位函数为其中，C为任意常数。•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解分布电荷产生的电位'(')1d'4|'|llrlCrr体电荷面电荷线电荷'(')1d'4|'|SSrSCrr'(')1d'4|'|VVrVCrr引入电位函数的意义：简化电场强度的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再由关系得到电场解——间接求解法。E•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解电位差（电压）两端点乘，则有dl将上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得*关于电位差的说明*P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压，可用U表示。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q两点间的电位差电场力做的功EddddElllldd()()QQPPElPQ•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解电位参考点静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值选择电位参考点的原则•应使电位表达式有意义。•应使电位表达式最简单（若场源电荷分布在有限区域，通常取无限远处作为电位参考点）。•同一个问题只能有一个参考点。•电位参考点电位一般为0。为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即()CC•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解例3.1.1求电偶极子的电位。解：在球坐标系中用二项式展开，由于，得代入上式，得表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。2101201211()()4π4πrrqqrrrrr221222(/2)cos(/2)cosrrdrdrrdrdrd12cos,cos22ddrrrr223000cos()4π4π4πrpeqdprrrrrpqd+q电偶极子zod－q2r1rr),,(rP22112cos,rrdrrr•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度3011()()sin(2cossin)4πrrEreeerrrpeerpqd•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解解：选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点P的位置矢量为，则若选择点O为电位参考点，即，则在球坐标系中，取极轴与的方向一致，即，则有在圆柱坐标系中，取与x轴方向一致，即，而，故0ExzOPr例3.1.2求均匀电场的电位分布。000()()ddPPoOPOElErErvvvvvv()0O0()PErvv00zEeE0E000()coszPEreErErvvvv0E00xEeEzreez000()()cosxzPEreEeezEvvvvvrv•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解xyzL-L(,,)z'zddlzR解：采用圆柱坐标系，令线电荷与z轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与无关。在带电线上位于z'处的线元dl'=dz'，它到点的距离，则例题：求长度为2L、电荷线密度为l0的均匀带电线的电位。(,,)Pz22()Rzz022022002202201()d4π()ln[()]4π()()ln4π()()LlLLlLlrzzzzzzzzLzLzLzL•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解在上式中若令，则可得到无限长直线电荷的电位。当时，上式可写为当时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择=a的点为电位参考点，则有LLRL2222000220002()lnlnln4π2π2πlllLLLLLrLL002()ln2πlLrC002ln2πlLCa00()ln2πlar•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•EDED2()()DEE二、静电位的微分方程第三章静态电磁场及其边值问题的解泊松方程和拉普拉斯方程根据静电场基本方程的微分形式，可推导出电位函数与产生电场的源(电荷)之间满足的泊松方程和拉普拉斯方程。20在均匀、线性各向同性介质中，有若空间中无自由电荷分布（=0），则拉普拉斯方程泊松方程•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解电位的边界条件设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离Δl→0时，由和12媒质2媒质121lΔ2P1P若介质分界面上无自由电荷，即S=0n12()SeDDD2112Δ0limd0PPlEl121212Snn1212nn•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解例3.1.3两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为S0的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。解：在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程方程的解为obaxy两块无限大平行板0S1()x2()x212222d()0(0)dd()0()dxxbxxbxax111222()()xCxDxCxD•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解利用边界条件，有x=0处，x=a处，x=b处，1(0)02()0a12()()bb0210()()Sxbxxxx1221122021000SDCaDCbDCbDCC所以•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解最后得由此解得0110002200(),0,SSSbaCDabbCDa01002001100220()(),(0)()(),()()()()()()SSSxSxabxxxbabxaxbxaaabExxeabExxea≤≤≤≤•电磁场与电磁波•3.1.3导体系统的电容电容是导体系统的一种基本属性，它是描述导体系统储存电荷能力的物理量。我们定义两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与导体之间的电位差之比，即电容的单位是F（法拉）。电容的大小与电荷量、电位差无关，因为该比值为常数。电容的大小只是导体系统的物理尺度及周围电介质的特性参数的函数。第三章静态电磁场及其边值问题的解qCU•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解•电磁场与电磁波•对于传输线双导体系统，由于其纵向尺寸远大于横向尺寸，故可作为平行平面电场(二维场)来研究，只需计算传输线单位长度的电容。计算步骤如下：根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；假定两导体上分别带电荷+q和-q；根据假定的电荷求得电场强度；由求得电位差；求出比值。ldE21UqC第三章静态电磁场及其边值问题的解一、双导体的电容计算E•电磁场与电磁波•第三章静态电磁场及其边值问题的解例3.1.4如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且Da，求传输线单位长度的电容。解：设两导线单位长度带电量分别为l和l。由Da，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的电场强度为两导线间的电位差故单位长度的电容为xyzxDa210011d()dln2ππDallaDaUElxxDxa001ππ(F/m)ln[()]ln()lCUDaaDa011()()2π