2016考研数学复习之矩估计

2016考研数学复习之矩估计来源：文都教育参数估计是考研数学大纲中概率论与数理统计部分第七章的内容，根据历年真题分析发现，无偏估计、矩估计和极大似然估计是每年考试的重点。那么对于这几种估计方法，我们该如何有效、高效的学习、掌握呢？文都考研数学老师接下来为大家大致总结一下本章的第一部分内容-矩估计。一、基本知识点矩估计一般来说，用样本的各阶矩作为总体分布函数中的未知矩的估计。含一个参数：设总体(,)Xfx，但是参数未知，需要对参数进行估计。具体步骤：①取样：12,,,nXXX…；②计算样本均值11niiXn，根据大数定律1111nnPiiiiXXEXEXnn；③令XEX（在EX的结果中包含），则可求出ˆ。含两个参数：若含有两个参数12,，①取样；②由大数定律2222111111,nnnPPiiiiiiXXEXAXEXEXnnn；③令XEX，222211=+()niiAXEXDXEXn（或者令211()1niiXXDXn），则可求出12,的估计量。所谓矩估计法就是利用样本原点矩去替换总体矩.矩估计法的计算步骤：（1）计算总体原点矩EX，建立关于参数的有效方程；（2）用样本原点矩11niiAXn作为总体原点矩EX的估计，令A即11(1,2,)niiXEXkn；（3）通过求解有效方程，将未知参数用样本的统计量表示出来，再将未知参数用对应的估计量代替；（4）若给定一个样本观测值12(,)nxxx，代入可得的一个矩估计值二、典型例题例1设总体X的概率密度为,01(;)1,120,xfxx其他，其中是未知参数（01）.12,,,nXXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,,,nxxx中小于1的个数.求：（1）的矩估计；（2）的最大似然估计.解析：（1）12013()(1)2EXxfxdxxdxxdx，令EXX，得矩估计量32X.（2）似然函数()(1)NnNL，ln()Nln(N)ln(1)Ln，令ln()01dNnNLd，得的最大似然估计为Nn.例罐中有N个硬币，其中有个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5），其余N个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，然后放回，如此重复n次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为012012,,()nnnnnnn.（1）求的矩估计1，最大似然估计2；（2）求12EE、；（3）求2D.解析：（1）设X为连掷两次正面出现的次数，A：“取出的硬币为普通硬币”，则21(0)()(0|)()(0|)()24PXPAPXAPAPXANN，1221(1)()(1|)()(1|)()22PXPAPXAPAPXACNN，2143(2)()(2|)()(2|)()24NNPXPAPXAPAPXANNN，则X的分布律为X012P4N2N434NN则12012432(2)(2)(2)22nnNNNEXXNXNnnNNNnn则的矩估计101(2)Nnnn.似然函数012143(,,;)424nnnnNLXXNNN，012ln(lnln(4))(lnln(4))(ln(43)ln(4))LnNnNnNN，012013ln40()433nnndLNnndNn，则的最大似然估计2014()3Nnnn.（2）01243(,),(,),(,)424NnBnnBnnBnNNN，则012(43),,424nnnNEnEnEnNNN12(2)22NEENXNNEXNNN，20101444()()()33342NNNnnEEnnEnEnnnnNN.（3）01(1),(1)4422nnDnEnNNNN，则22201012222241616(4)(2)()()()3991641259NNNnNnNDDnnDnDnnnnNNNn例总体X的概率分布为1{},1,2,,PXkkNN，其中N是未知参数(正整数)，利用总体X的如下样本值：1,3,2,3,2,1,2,NN，求N的矩估计值..【解析】由X的概率分布知，1111(){}2NNkkNEXkPXkkN，样本均值131323212824NxNN.令()XEX，得31242NN，解得ˆ4N，即N的矩估计值是4.以上是文都考研数学老师总结的参数估计当中的矩估计法，另外，同学们要牢记常用的参数的距估计值，这样可以节约很多时间。