4-1-刚体(学生).

第四章刚体的转动1刚体：在运动时，形状和大小都不发生变化的物体。(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组．)—特殊的质点系。什么是刚体？刚体是力学中的理想模型，是一个特殊的质点系因此，有关质点系的规律都可用于刚体，刚体平动质点运动1、刚体的平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或刚体内任意两点间的连线在运动中总平行．刚体的运动形式：平动、转动．一般选刚体质心.2、刚体的转动：(1)刚体的定轴转动：(2)刚体的定点转动：刚体上只有一个点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。刚体上各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。蔡斯勒斯定理：随质心的平动加上绕质心的转动。3、刚体的一般运动：第四章刚体的定轴转动5§4.1刚体定轴转动的运动学描述§4.4力矩作功定轴转动的动能定理§4.3角动量和角动量守恒定律*§4.5刚体的平面平行运动纯滚动§4.2力矩转动定律转动惯量*§4.6进动*§4.8经典力学的局限性一、刚体定轴转动的角量描述：rωX0θv§4.1刚体定轴转动的运动学描述2.刚体内各质点的线速度与线加速度一般不同，各点的角位移、角速度与角加速度相同。刚体作定轴转动的特点：PO·1.刚体内各点都绕同一直线作圆周运动，转动平面垂直于转轴。)(t角坐标沿顺时针方向转动0沿逆时针方向转动0tdd角速度矢量方向:右手螺旋方向，ωθMXO一、刚体定轴转动的角量描述：逆时针：0)(1srad角加速度:22dtddtdω)()(t)(二、匀变速转动公式dtd变速转动8刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxavvt0)(2020222100tt当刚体绕定轴转动的=常量时，刚体做匀变速转动．三、角量与线量的关系：9terωvte2ntrωaran2terωeratωddttω22ddddavrtana例1在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动后其转速随时间变化关系为：式中：求：(1)t=6s时电动机的转速．(2)起动后，电动机在t=6s时间内转过的圈数．(3)角加速度随时间变化的规律．)(/tmnne1　，s02sr5401.mn(4)任意时刻r=0.5m处的切向和法向加速度.书上ω→n(2)电动机在6s内转过的圈数为解(1)将t=6s代入1sr513950mn.n)(/tmnne1(3)电动机转动的角加速度为/eddtmtr1021.23tntnNtmde1d6060)(/　)1srad(54022mmn式中：22/sradπe540t(4)任意时刻r=0.5m的切向和法向加速度？/eddtmtrtrra2/e270ttatnrae5402一、力矩---改变转动状态的原因4-2力矩转动定律转动惯量FrdMOMsinFrFdM对转轴z的力矩F力臂d：点O到力的作用线的垂直距离，d=r*sinθ对刚体转动的影响：力的大小，力的作用点的位置，力的方向FrMZzkMMzZFFFZMrsinrFMz讨论若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴的两个分量F大小:力对Z轴的力矩FZM方向:与成右旋关系Fr、FrMZ当力平行或通过某轴时,对该轴的力矩为零FrMMrFM方向：右手定则力矩矢量的定义：二转动定律θrFMsin任取质元受外力，内力jF外jF内jjjjamFF内外jjjjjjjarmFrFr内外OzjmjrjF外jF内2)(jjjjjjjrmrrmMM内外2jjjjrmMM内外OzjmjrjF外jF内2jjjjjjjrmMM内外?0jjM内对刚体（质点系）：O0jiijMMjririjijFjiFdijMjiM可以证明：内力矩之和为0，即证0jjM内jiijFF且0dFdFjiij力臂相同，jiijijjijijjiFrFrMMsinsin0MαJ192jjjjjjjrmMM内外2iirmJ转动惯量：刚体定轴转动的转动定律：dtdJJM是转动惯性大小的量度。三、转动惯量的计算：20dmrJ2质量均匀分布，直接积分如体分布:dV=ρdV,Vm2iirmJ刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.dtdJJM[例2]质量为m,长度为L的均质细杆绕一端的转动惯量。m=dmdxLxdxLdJ22dm==xm[例]均质细圆环的转动惯量。00xdxLω0ωrm0132=xLmmLLJ0dx=2J22==rdmrdm=mr2飞轮[例]质量为m，半径为R的均质圆盘的转动惯量。dm=2πrdrσRσ=mπ20m2=rdr22πσJRR3=1也可用书例2结论，质量面密度22dldrdsdmdldrrdmrJ22取半径为r宽为dr的薄圆环方法1，任取小质元dmRrdrdloωmdm=2πrdrσRσ=mπ20m2=rdr22πσJRR3=123drrdmrJ22ωRrdrm取半径为r宽为dr的薄圆环几种常用（有规则）的转动惯量：,312mlJ2121mlJ221mRJ2mRJ252mRJ或竿子长些还是短些较安全？1.对同一轴J具有可叠加性转动惯量的性质：25例如：组合滑轮ABrRm1m2dCOmoJCJ2.平行轴定理2mdJJco...21JJJJc:对过质心轴的转动惯量，d:两平行轴间的垂直距离c例:已知细棒M,L,求Io解:202231MLdxxLMdmxJL例:如图,已知细棒M,L,求Jc222LMML1212mdJJCJC—对过质心转轴的转动惯量；d—平行轴间距2121MLJcdmodtdJJM四：转动定律的应用举例(2)转动中与平动中地位相同．maFJM(1),与方向相同．JMM说明M的方向例3:已知光滑桌面，滑轮半径R，质量为M，两物体质量分别为m1、m2，求两物体的加速度和绳的张力。（书上例2）m1m2解：方法1，分别取隔离体m2T2T2T1m1T1m1gamTgm111对m1对m2amT22对滑轮22121MRRTRTRaaBA讨论：若滑轮有质量，T1T2联立解得Mmmgma211222gMmmMmmmT211211222gMmmmmT2121222229方法2：滑轮,m1,m2视为一整体,求总转动惯量m1m22222121MRRmRmJJgRm1中国农大--宋敏30例4设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆转过任意角θ时的角加速度和角速度：已知：m，L，求：α,，mg;N（不产生对轴的力矩）ZNmgYXOL解：1）杆的受力:rθcos2LmgM231mLJMαα中国农大--宋敏31Mcos2331cos2LgmLmgJMZmgNLθr2）=？解法1，由转动定律先求出α，dtddddtddLgdcos23ddcos23Lg中国农大--宋敏32两边积分：dLgdcos2300sin3Lg2）求解法2：动能定理或机械能守恒221sin20Jlmgsin3lg书P113例3，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动．试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度．例4A一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态m,lOmgθ解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NFJmglsin21Jmglsin21式中,231mlJ得sin23lgtθθωtωdddddd由角加速度的定义θθlgωωdsin23dθωωdd代入初始条件积分得)cos1(3θlgωNFm,lOmgθ一、力矩的功MddW§4－4力矩作功刚体绕定轴转动的动能定理ddddttrFsFrFW21dMW力矩的功rFoxtFrddtsinrFrFFrMz由质元的动能：Δim刚体的转动动能：二、刚体的转动动能221JEk2222121iiiiirmvmE22)(21iiikrmEEOzimiriv三、刚体定轴转动的动能定理由转动定律ddJdtdJJM两端积分：2121dJMd21222121JJW37比较21222121dvvmmrFWOz对于含有刚体的系统，只有保守内力作功，则系统的机械能守恒。38四、机械能守恒定律：刚体重力势能－质心处的势能。Ep=0himiChCiipghmEmhmmgiiCpmghE中国农大--宋敏39例4设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆转过任意角θ时的角速度：ZmgLθ求解法2：机械能守恒221sin20Jlmgsin3lgN中国农大--宋敏40求解法3：动能定理依动能定理2022121JJW力矩ZmgdLmgcos20sin2Lmg0MdW力矩sin3Lg例5质量为M、半径为R的定滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。Rhmv0=0绳定轴o·41解：取飞轮、物体和地球为系统，绳子张力作用于飞轮、物体的功之和为零，系统的机械能守恒。Ep=0222121mvJmgh习题4－13222121mvJmghRv221MRJMmmghv24代入上式，可解出vRhmv0=0绳定轴o·42Ep=0可用来测转动惯量MmmghR241(2)求绳中张力？(2)求绳中张力？Rhmv0=0绳定轴o·Ep=0gmMMmT2maTmg对m对滑轮221MRTRRa量纲？gmMma22例5的推广图示测飞轮的转动惯量。重物m下落，带动飞轮转动.测得飞轮由静止下落h距离，所用时间为t,试计算飞轮对O轴的转动惯量。忽略摩擦力，绳轮无相对滑动，绳不可伸长。44)12(22hgtmRJz定轴O·Rthmv0=0绳答案：习题4－11例6留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率ω作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为μ，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩；(2)唱片达到角速度ω时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？此力对点o的力矩为lrrRmgfrdMddπd2Rrdrdlfdo于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为ω解(1)如图取面积元ds=drdl，该面元所受的摩擦力为lrRmgfddπd2)π2(dπd2rrrRmgMrrRmgd222RgJM34gRt43（作匀加速转动）由可求得t0(2)由转动定律求，(唱片J=mR2/2)RrdrdlfdoωRmgrrRmgM