2016高考数学(文)大一轮复习--课时跟踪检测(四十二)空间点直线平面之间的位置关系

课时跟踪检测(四十二)空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面2．(2015·云南思茅模拟)设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是()A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件3．(2015·济宁一模)直线l1，l2平行的一个充分条件是()A．l1，l2都平行于同一个平面B．l1，l2与同一个平面所成的角相等C．l1平行于l2所在的平面D．l1，l2都垂直于同一个平面4．(2015·太原期末检测)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面5．(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面6．(2014·全国大纲卷)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.16B.36C.13D.33二、填空题7．(2015·济南一模)在正四棱锥V­ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为________．8．(2015·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．9．(2015·揭阳模拟)如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．三、解答题11．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．12．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？答案1．选B若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A不正确；当l1∥l2∥l3或l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，C，D不正确；当l1⊥l2，l2∥l3时，则有l1⊥l3，故选B.2．选CC中，当m⊂α时，若n∥α，则直线m，n可能平行，可能异面；若m∥n，则n∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，故选C.3．选D对A，当l1，l2都平行于同一个平面时，l1与l2可能平行、相交或异面；对B，当l1，l2与同一个平面所成角相等时，l1与l2可能平行、相交或异面；对C，l1与l2可能平行，也可能异面，只有D满足要求，故选D.4．选C直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．5．选D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.6.选B法一：设正四面体ABCD的棱长为2.如图，取AD的中点F，连接EF，CF.在△ABD中，由AE＝EB，AF＝FD，得EF∥BD，且EF＝12BD＝1.故∠CEF为直线CE与BD所成的角或其补角．在△ABC中，CE＝32AB＝3；在△ADC中，CF＝32AD＝3.在△CEF中，cos∠CEF＝CE2＋EF2－CF22CE·EF＝32＋12－3223×1＝36.所以直线CE与BD所成角的余弦值为36.法二：设正四面体ABCD的棱长为2.如图，取AD的中点F，连接EF，CF.在△ABD中，由AE＝EB，AF＝FD，得EF∥BD，且EF＝12BD＝1.故∠CEF为直线CE与BD所成的角或其补角．在△ABC中，CE＝32AB＝3；在△ADC中，CF＝32AD＝3.取EF的中点H，连接CH，则EH＝12EF＝12，且CH⊥EF.在Rt△CEH中，cos∠CEF＝EHCE＝123＝36.所以直线CE与BD所成角的余弦值为36.7．解析：如图，设AC∩BD＝O，连接VO，因为四棱锥V­ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC，所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为π2.答案：π28．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①9．解析：如图，取A1C1的中点D1，连接B1D1，因为D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝2a，所以AB1＝3a，B1D1＝32a，AD1＝14a2＋2a2＝32a.所以，在△AB1D1中，由余弦定理得，cos∠AB1D1＝AB21＋B1D21－AD212AB1·B1D1＝3a2＋34a2－94a22×3a×32a＝12，所以∠AB1D1＝60°.答案：60°10．解析：法一：在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案：无数11．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.12．解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊12AD.又BC綊12AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．