232双曲线的简单几何性质学案(人教A版选修2-1)

第1页共8页2.3.2双曲线的简单几何性质课时目标1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴长实轴长＝____，虚轴长＝____离心率渐近线2.直线与双曲线一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题第2页共8页1．下列曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝12．双曲线x225－y24＝1的渐近线方程是()A．y＝±25xB．y＝±52xC．y＝±425xD．y＝±254x3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的方程为()A．2x2－4y2＝1B．2x2－4y2＝2C．2y2－4x2＝1D．2y2－4x2＝34．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±12x5．直线l过点(2，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.43B53C.2D.73题号123456答案二、填空题7．两个正数a、b的等差中项是52，一个等比中项是6，且ab，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e＝______.8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点154，3，且一条渐近线为4x＋3y＝0；第3页共8页(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．设双曲线x2－y22＝1上两点A、B，AB中点M(1,2)，求直线AB的方程．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋1213．设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；第4页共8页1．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e＝ca的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且ba＝e2－1，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax，也可记为x2a2－y2b2＝0；与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．2.3.2双曲线的简单几何性质知识梳理1.标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)第5页共8页图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝ca(e1)渐近线y＝±baxy＝±abx2.(1)一点(2)两个一个没有作业设计1．B[∵e＝62，∴e2＝c2a2＝32，∴b2a2＝12，故选B.]2．A3．C[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为0，±32，则双曲线的焦点坐标为0，±32，又由渐近线方程为y＝2x，得ab＝2，即a2＝2b2，又由322＝a2＋b2，得a2＝12，b2＝14，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]4．C[由题意知，2b＝2,2c＝23，则b＝1，c＝3，a＝2；双曲线的渐近线方程为y＝±22x.]5．C[点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a3≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，则ca≤53.]7.133解析a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.又ab，∴a＝3，b＝2.∴c＝13，从而e＝ca＝133.8.x29－y216＝1(x3)第6页共8页解析以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝610.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x29－y216＝1(x3)．9.x294－y24＝1解析∵所求双曲线与双曲线x29－y216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x29－y216＝λ(λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上，∴λ＝－329－23216＝14.∴所求双曲线的方程为x294－y24＝1.10．解(1)因直线x＝154与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为154，－5，而3|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为x2a2－y2b2＝1，由1542a2－32b2＝1，b2a2＝432，解得a2＝9，b2＝16.故所求的双曲线方程为x29－y216＝1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.又P与两顶点连线夹角为π3，所以a＝|OP|·tanπ6＝23，所以b2＝c2－a2＝24.故所求的双曲线方程为x212－y224＝1.11．解方法一(用韦达定理解决)显然直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k，由y＝kx＋2－kx2－y22＝1得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，当Δ0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，第7页共8页则1＝x1＋x22＝k2－k2－k2，∴k＝1，满足Δ0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.方法二(用点差法解决)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21－y212＝1x22－y222＝1，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝12(y1－y2)(y1＋y2)．∵x1≠x2，∴y1－y2x1－x2＝2x1＋x2y1＋y2，∴kAB＝2×1×22×2＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1，代入x2－y22＝1满足Δ0.∴直线AB的方程为y＝x＋1.12.D[设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，而kBF＝－bc，∴ba·(－bc)＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝1＋52或e＝1－52(舍去)，故选D.]13．解(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得x2a2－y2＝1，x＋y＝1有两个不同的解，消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①∴1－a2≠0，Δ＝4a4＋8a21－a20，解得－2a2且a≠±1.又∵a0，∴0a2且a≠1.∵双曲线的离心率e＝1＋a2a＝1a2＋1，第8页共8页∴0a2，且a≠1，∴e62且e≠2.∴双曲线C的离心率e的取值范围是62，2∪(2，＋∞)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∴(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1)，由此可得x1＝512x2.∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，∴x1＋x2＝1712x2＝－2a21－a2，x1x2＝512x22＝－2a21－a2，消去x2得－2a21－a2＝28960，即a2＝289169.又∵a0，∴a＝1713.