26中考数学压轴题二次函数动点问题(六)

12012中考数学压轴题二次函数动点问题（六）1.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．解：（1）点A的坐标为（4，8）．将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax2＋bx，得08648416＝＋＝＋baba解得a＝－21，b＝4．∴抛物线的解析式为y＝－21x2＋4x．（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝APPE＝ABBC，即APPE＝84＝21．∴PE＝21AP＝21t，PB＝8－t．∴点E的坐标为（4＋21t，8－t）．2∴点G的纵坐标为－21(4＋21t)2＋4(4＋21t)＝－81t2＋8．∴EG＝－81t2＋8－(8－t)＝－81t2＋t∵－81＜0，∴当t＝4时，线段EG最长为2．2②共有三个时刻．t1＝316，t2＝1340，t3＝40－516．2.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．解：（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：x＝1．（2）①设直线BC的解析式为：y＝kx＋b．将B（3，0），C（0，3）分别代入得：303＝＝＋bbk解得31＝－＝bk∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴E（1，2）．当x＝m时，y＝－m＋3，∴P（m，－m＋3）．将x＝1代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝4，∴D（1，4）．将x＝m代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝－m2＋2m＋3．∴F（m，－m2＋2m＋3）．∴线段DE＝4－2＝2，线段PF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m∵PF∥DE，∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．xyDCAOB3由－m2＋3m＝2，解得：m1＝2，m2＝1（不合题意，舍去）．∴当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M．由B（3，0），O（0，0），可得：OB＝OM＋MB＝3．则S＝S△BPF＋S△CPF＝21PF·BM＋21PF·OM＝21PF·OB＝21(－m2＋3m)×3＝－23m2＋29m（0≤m≤3）即S与m的函数关系式为：S＝－23m2＋29m（0≤m≤3）．3.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．解：（1）∵点D是OA的中点，∴OD＝2，∴OD＝OC．又∵OP是∠COD的角平分线，∴∠POC＝∠POD＝45°．∴△POC≌∠POD，∴PC＝PD；4（2）如图，过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．易知点F的坐标为（2，2），故BF＝2，作PM⊥BF．∵△PBF是等腰直角三角形，∴PM＝21BF＝1．∴点P的坐标为（3，3）．∵抛物线经过原点∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx．又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0）∴024339＝＋＝＋baba解得21＝－＝ba∴过O、P、D三点的抛物线的解析式为y＝x2－2x；（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE＋PD＝EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小．∵抛物线y＝x2－2x的顶点E的坐标（1，－1），C点的坐标（0，2）设CE所在直线的解析式为y＝kx＋b则21＝－＝＋bbk解得23＝－＝bk∴CE所在直线的解析式为y＝－3x＋2．联立xxyy＝＋＝－23，解得2121＝＝yx，故点P的坐标为（21，21）．5△PED的周长即是CE＋DE＝210＋；（4）存在点P，使∠CPN＝90°，其坐标为（21，21）或（2，2）．4.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度．．．．．从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t＝25时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4）∴可设其对应的函数关系式为y＝a(x－2)2＋4．又抛物线经过坐标原点O（0，0），∴a(0－2)2＋4＝0．解得a＝－1．∴所求函数关系式为y＝－(x－2)2＋4，即y＝－x2＋4x．（2）①点P不在直线ME上，理由如下：6根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0）．设直线ME的解析式为y＝kx＋b，将M（2，4），E（4，0）代入，得0442＝＋＝＋bkbk解得82＝－＝bk．∴直线ME的解析式为y＝－2x＋8．当t＝25时，OA＝AP＝25，∴P（25，25）．∵点P的坐标不满足直线ME的解析式y＝－2x＋8∴当t＝25时，点P不在直线ME上．②S存在最大值，理由如下：∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA＝AP＝t．∴P（t，t），N（t，－t2＋4t），∴AN＝－t2＋4t（0≤t≤3）∴PN＝AN－AP＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t＝t(3－t)≥0（ⅰ）当PN＝0，即t＝0或t＝3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD．∴S＝21DC·AD＝21×3×2＝3．（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形．∵PN∥CD，AD⊥CD．∴S＝21(CD＋PN)·AD＝21(3－t2＋3t)×2＝－t2＋3t＋3＝－(t－23)2＋421（0＜t＜3）．当t＝23时，S最大＝421．综上所述，当t＝23时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积S有最大值，最大值为421．说明：（ⅱ）中的关系式，当t＝0和t＝3时也适合．75.如图1，已知抛物线y＝ax2－2ax－3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D(2，－3)，且tan∠BAD＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）连结CD，求证：AD⊥CD；（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，则OH＝2，DH＝3．∵tan∠BAD＝1，∴AH＝DH＝3，∴AO＝3－2＝1．∴A(－1，0)．把A(－1，0)代入y＝ax2－2ax－3，得a＋2a－3＝0．∴a＝1．∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．（2）∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4∴C(1，－4)．连结AC，则AD2＝32＋32＝18，CD2＝(2－1)2＋(－3＋4)2＝2，AC2＝(1＋1)2＋42＝20．∴AD2＋CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°．∴AD⊥CD．（3）设直线AD的解析式为y＝kx＋b，把A(－1，0)，D(2，－3)代入8求得直线BC的解析式为y＝－x－1．设点P的横坐标为x，则P(x，－x－1)，E(x，x2－2x－3)．∵点P在点E的上方∴EP＝(－x－1)－(x2－2x－3)＝－x2＋x＋2＝－(x－21)2＋49∴当x＝21时，线段PE长度的最大值＝49．（4）存在，点F的坐标分别为F1(－3，0)，F2(1，0)，F3(74－，0)，F4(74＋，0)．①若四边形ADQ1F1为平行四边形，则AF1＝DQ1，DQ1∥AF1．∴点Q1的纵坐标为－3，代入y＝x2－2x－3，得x2－2x－3＝－3，∴x1＝0，x2＝2．∵D(2，－3)，∴Q1(0，－3)，∴DQ1＝2，∴AF1＝2．∴F1(－3，0)．②若四边形AF2DQ2为平行四边形，同理可得F2(1，0)．③若四边形AQ3F3D为平行四边形，则AQ3＝DF3．∴点Q3的纵坐标为3，代入y＝x2－2x－3，得x2－2x－3＝3，∴x3＝71－，x4＝71＋．－1－(71－)＝27－，OF3＝2－(27－)＝74－．∴F3(74－，0)．④若四边形AQ4F4D为平行四边形，则OF4＝(71＋)－(71－)＋(74－)＝74＋∴F4(74＋，0)．92012中考数学压轴题选讲（六）1.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．102.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．xyDCAOB113.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．124.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以