4一元时间序列分析方法

第四章一元时间序列分析方法学习目标：了解平稳性和白噪声过程；熟悉随机序列模型；熟悉ARIMA过程；掌握时间序列的平稳性和单位根检验。第四章一元时间序列分析方法第一节时间序列的相关概念第二节随机序列模型第三节单整自回归移动平均模型第四节平稳性与单位根检验如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低估。因此，检验参数显著性水平的t统计量将不再可信。可以将序列相关可能引起的后果归纳为：②使用OLS公式计算出的标准差不正确，相应的显著性水平的检验不再可信；③如果在方程右边有滞后因变量，OLS估计是有偏的且不一致。①在线性估计中OLS估计量不再是有效的；本章将不再仅仅以一个回归方程的残差序列为研究对象，而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问题。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及汇率变化等通常是一个平稳序列，或者通过差分等变换可以化成一个平稳序列。第一节时间序列的相关概念),,(),,(2121bybybyPbybybyPmtnmtmttntt一、平稳性在时间序列平稳性，一般包括下列两类平稳过程：1、严格平稳过程（StrictlyStationaryProcess）如果对所有的t，任意正整数n和任意n个正整数(t1,t2,…,tn)，(yt1,yt2,…,ytn)的联合分布与(yt1+m,yt2+m,…ytn+m)的联合分布是相同的,即：2、弱平稳性过程（WeaklyStationaryProcess）如果一个时间序列的均值，方差在时间过程上保持是常数，并且在任何两时期之间的协方差值仅依赖于该两时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，则称时间序列是弱平稳的。弱平稳的时间序列有如下性质：)(tyEtyty2()()ttEyuyuEyytttt()()122112,tt可见，如果一个时间序列概率分布的所有阶矩都不随时间变化，那它就是严格平稳的；而如果仅仅是一阶矩和二阶矩（即均值和方差）不随时间变化，那它就是弱平稳的。决定是如何与它自身的先前值相关的，对于一个平稳的时间序列，它只依赖于yt与yt-s之差。其中，被称为自协方差函数。二、自协方差（auto-covariance）ty[()][()],0,1,2tttstssEyEyEyEys时间序列的相关概念0)(),()()(),(ststtsttsttsyVaryyCovyVaryVaryyCovyt，yt-s的相关系数称为yt的间隔为s的自相关系数，通常记为s，在弱平稳性的假定下它只是s的函数，定义三、白噪声过程若一个随机过程满足：则称之为白噪声过程（whitenoiseprocess）对于白噪声序列，自相关系数为零。在实际应用中，如果所有样本的自相关函数接近为零，则认为这个序列为白噪声序列。()tEy2()tVary2tr0trtr若若相关图与Q-统计量应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关系数以及Ljung-BoxQ-统计量来检验序列相关。Q-统计量的表达式为：其中：j是残差序列的j阶自相关系数，T是观测值的个数，m是设定的滞后阶数。mjjjTTTmQ12)2()(H0：序列不存在m阶自相关；H1：序列存在m阶自相关。如果Q-统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中，通常会计算出不同滞后阶数的Q-统计量、自相关系数和偏自相关系数。如果，各阶Q-统计量都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0。反之，如果，在某一滞后阶数m，Q-统计量超过设定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存在m阶自相关。由于Q-统计量的P值要根据自由度m来估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q-统计量有效的重要因素。EViews操作在方程工具栏选择View/ResidualTests/correlogram-Q-statisticsEViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的Ljung-BoxQ统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。例：用普通最小二乘估计的简单消费函数的结果结果：系数在统计上是很显著的，并且拟合得很好。但是，如果误差项是序列相关的，那么估计OLS标准误差将是无效的(是因为阶数不够吗？回头问老师)，并且估计系数由于在方程右端有滞后因变量会发生偏倚和不一致。在这种情况下D-W统计量作为序列相关的检验是不合适的，因为在方程右端存在着一个滞后因变量。选择View/Residualtest/Correlogram-Q-statistice会产生如下情况：虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P值都小于5%，说明在5%的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。若对每一个固定的t，是一个随机变量，则y1，y2，┅yt为随机时间序列。而揭示随机时间序列自身变化规律和相关关系的数学表达式就是时间序列分析模型。随机时间序列分析模型分为三类：自回归模型（auto-regressivemodel,AR）、移动平均模型（moving-averagemodel,MA）和自回归移动平均模型（auto-regressivemovingaveragemodel,ARMA）。对于任一个时间序列，怎样判断它是遵循纯AR过程（若是的话，阶数p取什么值），纯MA过程，（若是的话，阶数q取什么值）或是ARMA模型，此时p和q各取多少。我们将遵循以下四个步骤对这三个模型做一详细介绍：第二节随机序列模型ty随机序列模型步骤一：识别。就是找出适当的p和q值。我们即将说明怎样借助相关图和偏相关图来解决此类问题。步骤二：估计。一旦辨别适当的p和q值，下一步便是估计模型中所含自回归和移动平均项的参数。步骤三：诊断。选定模型并估计其参数之后，下一步就要看所选的模型对数据拟合的是否够好。对所选模型的一个简单的检验，是看从该模型估计出来的残差是不是白噪声；如果是，就可接受这个具体的拟合；如果不是，我们必须重新在做。步骤四：预测。ARMA建模方法之所以得以普及，理由之一是它在预测方面的成功。有许多事例用这个方法做出的预测比用传统的计量经济建模方法做出的预测更为可靠，特别是在短期预测方面。一、自回归模型（AR）p阶自回归过程，满足下列方程(4.16)其中，为白噪声，，，p为自回归模型阶数，1,…,p是自回归模型参数，它表明每改变一个单位时间值时，对yt所产生的影响，它是根据样本观测值来估计的参数。随机序列模型tptpttyyy110t()0tE2var()t设j=0时，0=1，则得类似MA()。E(yt)=AR(1)模型平稳条件为：|1|1；t是白噪声的。AR(1)模型的平稳性条件1111211111)(iititttttttyyyjj11,10jitjty211221201),(,1)(kkttktyyCovyVarAR(p)模型的平稳性条件(4.16)设，令则(z)是一个关于z的p次多项式，AR(p)模型平稳的充要条件是(z)的根全部落在单位圆之外。ppLLLL2211)(01)(221pPzzzztptpttyyy110式（4.16）可以改写为滞后算子多项式的形式可以证明如果AR(p)模型满足平稳性条件，则可以表示为如下MA()的形式yt可以由一个白噪声序列的线性组合表示，即任何一个AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。ttcyL)(ttttttLLLy)()(22102211AR(1)的自相关系数由0|1|1，当k时，k0，称k为拖尾。AR(2)的自相关系数满足k=1k-1+2k-2，其中AR(p)的自相关系数k=1k-1+2k-2+…+pk-pk随着k增大而减少。AR的自相关系数kkk10222122111,1随机序列模型1、AR模型阶的识别在实际应用中，一个AR时间序列的p阶是未知的，必须根据实际情况来决定。这个问题叫做AR模型的阶的决定。一般可以通过两种方法：(1)利用偏自相关函数（partialautocorrelationfunction,PACF）(2)用某个信息准则函数。（1）偏自相关函数（PACF）偏自相关就是yt和yt-l之间的，除去居中的诸y（即）的影响后的相关。其相关程度可用偏自相关系数l,l度量。进行回归对一个AR(p)模型，间隔为p的样本偏自相关系数不应为零，而对所有jp，应接近零，我们利用这一性质来决定p阶。12,1,tttlyyy0111(1),,1,2,,ttltllltltyyyytT,jj（2）采用信息准则法判别模型阶数在实际应用中，很难利用自相关函数来确定模型的合理阶数。较为简便的方法是，所选定的阶数应使得信息准则的数值达到最小。对于信息准则，一般应用赤池（Akaike）准则信息准则（AIC）和许瓦兹（Schwarz）贝叶斯信息准则(SBIC)。随机序列模型3、参数估计对一个AR(p)模型，我们常用最小二乘法来估计其参数，最小二乘是从第p+1个观测值开始的。随机序列模型4、模型验证对实际数据所时拟合的模型，要仔细地验证它的合理性。若模型是合理的，其残差序列应该是白噪声。残差的样本自相关函数和Ljung-Box统计量可用来检验与一个白噪声的接近程度。对AR(p)模型，Ljung-Box统计量Q(m)渐进服从自由度为m-p的分布。如果所拟合的模型经经验验证是不合理的，那么就需要对它进行修正。t2随机序列模型5、预测预测是时间序列分析的一个重要应用。向前一步预测向前两步预测向前多步预测向前一步预测，由方程则预测误差的方差为1101hhhyyhhhhhyyyyEy1011),,|()1(ˆ11)1(ˆ)1(hhhhyye2))1((heVar向前两步预测，由方程则预测误差的方差为21102hhhyy)1(ˆ),,|()2(ˆ1012hhhhhyyyyEy1122)2(ˆ)2(hhhhhyye221)1())2((heVar向前多步预测，由方程则对平稳AR(1)模型，当k时，yh(k)收敛于E(yt)。khkhkhyy110hkkiihkkiihhhhkhhyykykyyyyEky100111110101010101)1(ˆ))2(ˆ()1(ˆ),,|()(ˆ随机序列模型6、判定预测是否精确在实际中应用中，通常是对整个样本外的区间进行预测，然后将其与实际值比较，把他们之间的差异用某种方法加总。对第i个观测值的预测误差定义为其实际值和预测值之间的差值，再求其平方或取其绝对值使各项为正后进行加总。比较模型的均方误差MSE和平均绝对误差MAE，具有较小误差值的模型更为准确。例利用AR(1)模型描述上证指数的变化规