2多元函数最值在经济学上的应用

2.多元函数最值在经济学上的应用一、最大值问题二、最小值问题三、最小二乘法1.利润最大值例1设12,DD分别为商品12,XX的需求量，需求函数为11221282,1025DPPDPP总成本函数为1232TCDD其中12,PP为商品12,XX的价格，试问价格12,PP取何值时可使利润最大？解根据经济理论，总利润＝总收入－总成本，由题意：总收益函数1122TRPDPD112212(82)(1025)PPPPPP总利润函数TTTLRC112212(3)(82)(2)(1025)PPPPPP为了使得总利润最大，解方程租1217240TLPPP122144100TLPPP得驻点1263,142PP有因为在点63(,14)2处2212TLAP2124TLBPP22210TLCP所以240BAC因此63(,14)2是极大值点，由于只是唯一的驻点，且实际问题是存在最大利润的，故此时价格1263,142PP时可获最大利润的价格，最大利润为：TL636363(3)(8214)(142)(102514)164.252222.采购数量最大值例2某工厂生产甲产品的数量S（吨）与所用两种原材料,AB的数量,xy（吨）间的关系式2(,)0.005Sxyxy现准备向银行贷款150万元购原料，已知,AB原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原材料，才能使得生产的数量最多？作拉格朗日函数解2(,,)0.005(2150)Fxyxyxy并令20.0100.0052021500xyFxyFxFxy解得100,25,25xy因为只有唯一的驻点，且实际问题的最大值是存在的因此驻点(100,25)是函数最大值点，最大值为2(,)0.005100251250Sxy二、最小值问题1.成本最小化例3某工厂生产两种型号的机密机床，其产量分别为,xy台，总成本函数22(,)2Cxyxyxy若根据市场调查预测，共需要这两种机床8台，如何合理安排生产，才能使得总成本最小？解作拉格朗日函数22(,,)2(8)Fxyxyxyxy令204080xyFxyFyxFxy解得5,3,7xy因为只有唯一的驻点，且实际问题的最小值是存在的，因此驻点(5,3)是函数最小值点，因此当两种型号的机器各生产5台和3台时，其总成本最小.最小值为22(5,3)5235328C三、最小二乘法社会经济现象是相互联系的，其发展变化受到各种因素的制约，例如：市场的需求量取决于消费者的可支配收入和商品的价格，生产费用由所生产的产品的数量及各种生产投入要素的价格构成等等.为了减少盲目性，增强科学性，人们要求在长期的实践中观察掌握大量的统计资料和数据，在此基础上，认识和掌握经济发展的规律，比如研究市场需求量与商品价格的关系，就需要对依存关系的经济变量，建立数学方程，这个方程中通常代表原因的为自变量，将代表结果的为因变量.这种根据大量的统计资料和数据所建立的方程成为经验公式.建立经验公式的一个常用方法就是最小二乘法.下面用两个变量的线性关系的情况来说明.通过试验或调查，得到两个变量的一组n个数据:),(,),,(),,(2211nnyxyxyx将这些数据在直角坐标系平面xoy画出来，假设数据表示的点几乎分布于某一条直线周围经验认为这两个变量yx,有线性关系，设其关系式为baxy在直线上，横坐标为ix的点的纵坐标为iibxayˆ误差为)(ˆiiiiibxayyy该误差称为实际值与理论值的误差.现求一组合适的ba,这种方法叫做最小二乘法.使得误差的平方和达到最小，niiiniibxayE1212)]([要求E的极小值，有)1()]([21niiibxayaE)()]([21iniiixbxaybE0,0bEaE令从而求得驻点是niniiininiiniiiixnxyxnyxb121211111niiniixnbyna1111例5某企业2008年度的1－12月份维修成本的历史数据如下表所示：解由题意可知，设经验公式为：yaxb根据题目中的数据算出相关数据，结果如下：11110.32nniiiiaybxnn11122111500.671nnniiiiiiinniiiixyxynbxxn所以经验公式为0.32500.67yx