4矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂ppt

上页下页铃结束返回首页121112112144622436979B上页下页铃结束返回首页交换第i行与第j行记为rirj。151112131937381112131937r2r4———15113811定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。(1)交换矩阵的两行；(2)以数k0乘矩阵的某一行；(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。例如下页一.矩阵的初等变换第四节矩阵的初等变换与矩阵的秩上页下页铃结束返回首页定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。(1)交换矩阵的两行；(2)以数k0乘矩阵的某一行；(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。用数k乘以第i行记为rik。1511121319373811r24———44812115113973181例如下页一.矩阵的初等变换上页下页铃结束返回首页一.矩阵的初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。(1)交换矩阵的两行；(2)以数k0乘矩阵的某一行；(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。第j行的k倍加到第i行记为ri+krj。1511121319373811r33r1———1511121319370724例如下页上页下页铃结束返回首页1131一.矩阵的初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。(1)交换矩阵的两列；(2)以数k0乘矩阵的某一列；(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一行列上。交换第i列与第j列记为cicj。1511121319373811c1c3———529813711113例如下页上页下页铃结束返回首页一.矩阵的初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。(1)交换矩阵的两列；(2)以数k0乘矩阵的某一列；(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。用数k乘以第i列记为cik。1511121319373811c34———44124151123197381例如下页上页下页铃结束返回首页一.矩阵的初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。(1)交换矩阵的两列；(2)以数k0乘矩阵的某一列；(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。第j列的k倍加到第i列记为ci+kcj。1511121319373811c3+c1———0242151123197381例如下页若矩阵A经过初等行变换后变为B,用AB表示,并称矩阵A与B是行等价的矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵初等变换上页下页铃结束返回首页AB有限次初等行变换有限次初等列变换~rAB行等价，记作~cAB列等价，记作二、矩阵之间的等价关系上页下页铃结束返回首页AB有限次初等变换~AB矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．~AA~AB~,~ABBC~BA~AC上页下页铃结束返回首页10备注•带有运算符的矩阵运算，用“=”．例如：矩阵加法＋数乘矩阵、矩阵乘法×矩阵的转置T（上标）方阵的行列式|∙|•不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：初等行变换初等列变换上页下页铃结束返回首页三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵（1）阶梯形矩阵定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵①零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方②所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的“列标”随着“行标”的增大而严格增大。下页411214011100001300000B行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.上页下页铃结束返回首页例0000100000207531A0000104003207531BA为阶梯形矩阵，B不是阶梯形矩阵上页下页铃结束返回首页510104011030001300000B411214011100001300000B行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.12rr23rr上页下页铃结束返回首页（2）行简化阶梯形矩阵定义：适合下列两个条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵①每个非零行的首元为1②首元所在的“列”除首元以外，其余元素均为零。例0000100000100501A为行简化阶梯形矩阵定理2：任何一个矩阵A一系列初等行变换阶梯形矩阵B（不唯一）一系列初等行变换行简化阶梯形矩阵C（唯一）下页上页下页铃结束返回首页首页r22r1r3+3r1A123012105——101012022r32r1——101012002r30.5——101012001r1r3——100010001r2+2r3例1．用初等变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形上页下页铃结束返回首页例2．用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形164221311101111A解：164221311101111A一系列初等行变换000001420001111=B为阶梯形矩阵（不唯一）一系列初等行变换00000212100211011=C为行简化阶梯形矩阵（唯一）上页下页铃结束返回首页解：1131021411410005A020201010450100101010000005410010101005400001001例3．将矩阵1131021411410005A化为（1）阶梯形（2）行简化阶梯形=B为阶梯形矩阵B100101010014/50000=C为行简化阶梯形矩阵下页上页下页铃结束返回首页510104011030001300000B行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.10000010000010000000F标准形矩阵：6.左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.34cc412ccc++5123433cccc+（3）标准形矩阵上页下页铃结束返回首页行阶梯形矩阵rmnOEFOO标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系上页下页铃结束返回首页任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换上页下页铃结束返回首页四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：定义2对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列三种：I(i,j)、I(i(k))、I(i,j(k))。I(2,4)例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001I0001100000100100r2r4———I(2,4)1000010000100001I0001100000100100c2c4———下页上页下页铃结束返回首页四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：定义2对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列三种：I(i,j)、I(i(k))、I(i,j(k))。I(3(4))例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001I0040100001000001r34———I(3(4))1000010000100001I0040100010000001c34———下页上页下页铃结束返回首页四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：定义2对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列三种：I(i,j)、I(i(k))、I(i,j(k))。I(2,4(k))例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001I010k100000100001r2+kr4———I(2,4(k))1000010000100001I1000100010000k01c4+kc2———下页上页下页铃结束返回首页容易验证：初等矩阵的可逆性：首页I(i,j(k))1I(i,j(k))。I(i(k))1I(i(k1))，I(i,j)1I(i,j)，这是因为I(i,j)I(i,j)I，I(i(k1))I(i(k))I，I(i,j(k))I(i,j(k))I。（1）|I(i,j)|-1，（2）|I(i(k))|k，（3）|I(i,j(k))|1，因此初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵：。四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：上页下页铃结束返回首页112定理1设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。例如，设301112011A，有I(1,2)A301112011010100001011301与交换A的第一行与第二行所得结果相同。下页五、初等变换与矩阵乘法的关系110211103A110103211r1r2=B=B上页下页铃结束返回首页011010100001112定理1设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。例如，设301112011A，有I(1,2)A301112011010100001011301与交换A的第一列与第二列所得结果相同。AI(1,2)301112011121310，下页五、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：=B上页下页铃结束返回首页323定理1设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。I(1,3(2))A301112011102010001011112请与对矩阵A进行行变换结果相对照。例如，设301112011A，有110211103A110211323=B=B下页r1+2r3上页下页铃结束返回首页310102010001323定理1设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。I(1,3(2))A301112011102010001011112AI(1,3(2))=301112011741011。请与对矩阵A进行列变换结果相对照。例如，设301112011A，有下页=B上页下页铃结束返回首页定理1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.上页下页铃结束返回首页六、用初等行变换求逆矩阵定理2：任何一个矩阵A一系列初等行变换阶梯形矩阵B（不唯一）一系列初等行变换行简化阶梯形矩阵C（唯一）定理3任意一个矩阵Amn(aij)mn经过若干次初等变换，可以化为下面形式的矩阵D：D。Or(nr)O(mr)(nr)O(mr)rIr矩阵D称为矩阵A的标准型。下页上页下页铃结束返回首页例4．用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形164221311101111A解：