3-5线性系统的稳定性分析

3-5线性系统的稳定性分析劳斯判据烟台大学光电信息学院3.5.1稳定性的基本概念稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。系统稳定性：如系统处于初始平衡状态，在受到外界扰动作用后，将会偏离该平衡状态。如果该扰动作用消失后，若系统在有限时间内能恢复到原平衡状态，则系统稳定；否则，系统不稳定。稳定系统不稳定系统若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。3.5.2线性系统稳定性的充要条件线性系统的稳定性取决于系统本身的固有特性，而与外界条件无关。线性系统的特性或状态是由线性微分方程来描述的,而微分方程的解通常就是系统输出量的时间表达式,它包含两个部分:稳态分量和瞬态分量。研究系统的稳定性,就是研究系统输出量中瞬态分量的运动形式。它完全取决于系统的特征方程,即齐次微分方程,这个特征方程反映了扰动消除之后输出量的运动情况。单输入、单输出线性定常系统传递函数的一般形式为10111011()()()()mmmmnnnnbsbsbsbCssnmRsasasasa系统的特征方程式为01110nnnnasasasa此方程的根称为特征根,它由系统本身的参数和结构所决定。从常微分方程理论可知,微分方程解的收敛性完全取决于其相应特征方程的根。如果特征方程的所有根都是负实数或实部为负的复数,则微分方程的解是收敛的;如果特征方程存在正实数根或正实部的复根,则微分方程的解中就会出现发散项。线性定常系统稳定的充分必要条件是：特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根,即特征方程的根均在复平面的左半平面。即闭环线性定常系统稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在s平面的左半部分。对于s平面右半平面没有极点,但虚轴上存在极点的线性定常系统,称之为临界稳定的,该系统在扰动消除后的响应通常是等幅振荡的。在工程上,临界稳定属于不稳定,因为参数的微小变化就会使极点具有正实部,从而导致系统不稳定。σjω0极点位于S左半平面，系统稳定;极点位于S右半平面，系统不稳定;极点位于虚轴上，系统临界稳定.注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。线性定常系统稳定性判断方法：1）有界输入，其输出也为有界的系统为稳定系统。2）单位冲激响应满足绝对可积。3）其极点均位于s左半平面，则系统为稳定系统。4）对复杂高阶系统，利用劳斯稳定判据或赫尔维兹稳定判据进行判定。（一种代数判据）5）利用根轨迹进行系统稳定性判定。（图解法）6）利用奈氏稳定判据或对数频率特性进行系统稳定性判定。（图解法）7）李亚普诺夫稳定性判据。3.5.3劳斯稳定判据根据线性定常系统稳定性的充分必要条件,可以通过求取系统特征方程式的所有根,并检查所有特征根实部的符号来判断系统是否稳定。但由于一般特征方程式为高次代数方程,因此要计算其特征根必须依赖计算机进行数值计算。采用劳斯稳定判据,可以不用求解方程,只根据方程系数做简单的运算,就可以确定方程是否有(以及有几个)正实部的根,从而判定系统是否稳定。以下是劳斯判据的具体内容。设控制系统的特征方程式为1011()0nnnnDsasasasa（1）劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是：控制系统特征方程的所有系数ai(i=0,1,2,…,n)均为正值，且特征方程式不缺项。（2）列劳斯表。102113212321343212753116420fseesdddscccsbbbbsaaaasaaaasnnnn120311140521160731131211151321171431121211,,,,,,naaaabaaaaabaaaaababaabcbbaabcbbaabcbeddefae劳斯表1011()0nnnnDsasasasa劳斯判据：劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正实部根的数目。例1：试用劳斯判据判别系统的稳定性。43223450ssss432101352401565sssss由于该表第一列系数的符号变化了两次,因此该方程中有两个根s右半平面,故系统是不稳定的。解：系统特征方程式的系数均大于零,并且没有缺项,所以稳定的必要条件满足。列劳斯表例2：系统如图所示，确定使系统稳定的K的取值范围。R(s)-2(1)(2)KssssC(s)E(s)解：系统的闭环传递函数为2()()(1)(2)CsKRsssssK所以系统的特征方程为432()3320DsssssK43210133207392773sKssKKssKK列劳斯表如下:根据劳斯判据,系统稳定必须满足90,207KK因此,使系统闭环稳定的K的取值范围为1409K当K=14/9时,系统处于临界稳定状态。注意：劳斯表中同一行元素同乘以或除以同一个正数，由劳斯判据所得的结论不变。432()3320DsssssK3.5.4劳斯稳定判据的特殊情况1.在劳斯表的某行的第一列某项为零，而其余各项均不为零，或不全为零；可用一个很小的正数ε代替为零的元素,然后继续进行计算,完成劳斯表。01632)(234sssssD试用劳斯判据判别系统的稳定性。例3：系统的特征方程为4321013126001621sssss由于该表第一列系数的符号变化了两次,因此该方程中有两个根在s右半平面,故系统是不稳定的。解:列劳斯表得：620其中01632)(234sssssD2.在劳斯表的某一行中，出现所有元均为零的情况。(1)先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程(2)再将上述辅助方程对s求导(3)用求导后的方程系数代替全零行的元素，继续完成劳斯表。解：列劳斯表54313213200sss例4：系统的特征方程为：5432()33220Dssssss试用劳斯判据判别系统的稳定性。由s4行系数构造辅助方程得：42()320Fsss对s求导后得新方程：543210461321320322034232ssssss得劳斯表：3460ss由于该表第一列系数不全大于零,故系统不稳定。又第一列系数不变号，所以系统没有s右半平面根，根位于虚轴上。又辅助方程：4222()32(1)(2)0Fsssss得：1,23,4;2sjsj3.5.5劳斯稳定判据的应用劳斯判据主要用于线性系统稳定性判断，如果系统不稳定，劳斯判据不能给出使系统稳定的方法；如果系统稳定，劳斯判据不能保证系统具备满意的动态性能。劳斯盘踞并不能表征特征根相对于虚轴的距离。稳定裕量——系统的相对稳定性σjω0211ss例3-9：设比例－积分(PI)控制系统如图所示。其中K1为积分器时间常数有关的待定参数。已知参数＝0.2，＝86.6，试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定时K1的取值范围。如果要求闭环系统的极点全部位于s＝－1垂线之左，问K1值范围又应取多大？nR(s)-1C(s)E(s)2(2)nnss1KsR(s)-1C(s)E(s)2(2)nnss1Ks解：由图可得系统闭环传递函数为：2132221()()2nnnnsKssssK闭环系统特征方程为：3222132221321()220.286.686.686.634.675007500nnnDssssKsssKsssK列劳斯表：32111011750034.6750034.67500750034.67500ssKKssK由劳斯判据，系统稳定需劳斯表第一列系数均大于0：1034.6K要求闭环系统的极点全部位于s＝－1垂线之左，则令：11ss代入原特征方程得：3211111321111()(1)34.6(1)7500(1)750031.67433.8(75007466.4)0DssssKsssK列劳斯表：3121111101117433.831.675007466.431.67433.8(75007466.4)31.67500ssKKssK令劳斯表第一列系数均大于0，则闭环系统的极点全部位于s＝－1垂线之左，得：1032.3K例6：已知系统的特征方程为：32()2101340Dssss检验系统是否具有σ＝1的稳定裕量。解：(1)首先判断原系统的稳定性：列劳斯表：32102131041308104ssss由于该表第一列系数均大于0,故原系统是稳定的。(2)将111sss代入原特征方程得：32111132111()2(1)10(1)13(1)4241Dsssssss列劳斯表：312111014141121ssss劳斯第一列系数的符号变化了1次,因此该方程中有1个根在s＝－1（新的虚轴）的右边,故系统稳定裕量达不到－1。3.5.6赫尔维茨(Hurwitz)判据（补充）一种代数判据，1895年由Hurwitz提出。设系统特征方程为：1011()0nnnnDsasasasa其系数行列式为：1357212462213523024241032500000000nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaa赫尔维茨判据：系统稳定的充要条件是在a00的情况下，上述行列式的各阶主子式均大于0，否则系统不稳定。即：110Da13530241300aaaDaaaaa0nD132020aaDaa例7：系统特征方式为432235100ssss试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。解：系统特征方程式所有系数均大于0，且110D2157230D因为二阶主子式小于0，所以系统不稳定。31502310015D4150023100015002310D例8：系统特征方式为43228420ssss试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。解：系统特征方程式所有系数均大于0120D3240182400024D所有奇数次赫尔维茨行列式均大于0，故系统稳定。在特征方程所有系数大于0的前提下，系统稳定的充要条件式：所有奇数次赫尔维茨行列式均大于0，或所有偶数次赫尔维茨行列式均大于0。