3-曲线曲面的计算机数学处理

第四节曲线曲面的计算机数学处理一、插值1、插值的含义在许多场合下，产品或工件的轮廓形状往往很难找到一个具体的数学表达式把它们描述出来，通常只能通过实验或数学计算得到一系列互不相同的离散点xi（x=0,1，2…）上的函数值f(xi)=yi(i=0,1,2,…n)，即得到一张xi与yi对应的数据表。通常把这种用数据表格形式给出的函数y=f(x)称为列表函数。由于受某些条件的限制，实验观测得到的离散点常常满足不了实际加工的需要，这时就必须在所给函数表中再插入一些所需要的中间值，这就是通常所说的“插值”。2、插值的基本思路插值的基本思路是先设法对列表函数f(x)构造一个简单函数y=p(x)作为近似表达式，然后再计算p(x)的值来得到f(x)的近似值。几种常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和样条插值法等。（二）拉格朗日插值法当n=1时，要构造通过两点(x0,y0)和(x1,y1)的不超过1次的多项式p1(x)(后面记作L1(x))，使得100111(),()LxyLxyy0xy=L1(x)x0x1－－－称为线性（一次）插值100111(),),)yLxxyxyLx的几何意义就是通过两点（与（的直线，如图所示，（）的表达式可由几何意义直接给出：（两点式）1010010()()yyLxyxxxx（点斜式）011011010()xxxxLxyyxxxxyy=L2(x)y0y1y1y=f(x)Ox0x1x2x01222200112222,,,(),)(0,1,2),(),).(,),(,)().iinxxxLxLxyiyLxxyxyxyLx下面讨论的情形。假定插值节点为要求二次插值多项式它满足（几何上就是通过三点（的抛物线。为了求出的表达式，可采用基函数方法))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102xxxxxxxyxxxxxxxyxxxxxxxyxLxxx拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.1nnxxx10n)(xLn).,,1,0()(njyxLjjn根据插值的定义应满足)(xLn先定义次插值基函数.n为构造，)(xLn定义1),,1,0,(.,0;,1)(nkjjkjkxlkj就称这个次多项式为节点1nn)(,),(),(10xlxlxln上的次插值基函数.nxxx,,,10n若次多项式在个节点n),,1,0()(njxLj1nnxxx10上满足条件第一个条件表明,上式应以x0、x1…xk-1,xk+1...xn为根，故应有下列形式)())(())(()(1110nkkkxxxxxxxxxxxLλ是常数，可由第二个条件得到)())(())((11110nkkxxxxxxxxxx于是可得插值多项式可表示为)(xLn.)()(0nkkknxlyxL)())(()()())(()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl).,,1,0(nk可得n次插值基函数为（三）牛顿插值法牛顿插值也叫均差插值，也是利用多项式进行插值的方法。若对一元函数y=f(x),令yi=f(xi),010110)()(),(xxxfxfxxf是在区间[x0,x1]上，函数的增量与自变量的比值，即函数在此区间上的平均变化率，称为函数f(x)的一阶方差。由一阶方差的定义可知，一阶方差与点的排列次序无关，叫做一阶方差的对称性。如),()()()()(),(011010010110xxfxxxfxfxxxfxfxxf))(,()()(01001xxxxfxfxp线性插值可以表示成如下形式：如果再增加一个新点（x2,y2），其插值形式可表示为))(()()(1012xxxxxxpp1210201202021002120221),(),())(())(,())(()(2xxxxfxxfxxxxxxxxfyyxxxxxpy上式含义为一阶均差的均差，称为函数f(x)的二阶均差，记为f(x0,x1,x2)依次类推，可得))()(,,())(,()()(2021001002xxxxxxxfxxxxfxfxp经直接计算可得)())(()())(()())((),,,(),,(),,,(1101210110201000110110xxxxxxyxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxxxxxkkkkkkkkkkkfff))(())(())((),,(120222101120100210xxxxyxxxxyxxxxyxxxf由上式可以推知，二阶均差也与点的排序无关，也具有对称性。由此可以归纳出高阶均差的定义：k-1阶均差的均差称为k阶均差，即由上述各阶均差的定义与记号，可以把满足N+1个型值点插值条件的n次插值多项式表达为)())()(,,,())()()(,,,())()(,,())(,()()(110102103210102100100xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxpnnnxxxfxxxfxxfxffx上式就是牛顿形式的n次插值多项式，因它用均差作系数，故常称为均差插值多项式。牛顿插值多项式的优点：多项式的系数恰好是直到n阶的均差，各项外形的规律性强；当增加一个新的型值点后再计算某点的插值时，前次运算的结果仍然有用，只要把最后一项的值算出后累加上去即可。（四）样条插值法1、样条函数源于物理样条物理样条实际上是一种绘制模线的工具，一般采用一根富有弹性的木条或薄金属条、有机玻璃条来作为样条。人们在绘制船舶、汽车和飞机的外形放样条曲线时，用压铁压在一批点上，强迫样条通过这些离散的型值点，经过调整压铁，使样条作弹性变形，当认为形状合适后，使可沿样条画出所需要的曲线。由于物理样条得到了适当的利用，可获得令人满意的曲线，所以有理由对物理样条进行数学模拟，并用它来描述数控加工工件的外形轮廓曲线。2、三次样条函数的定义设在XOY平面上给定n+1个有序的型值点列(x0,y0)，(x1,y1)，…，(xn,yn)其中，x0x1…xn。若有函数s(x)适合下列条件1)s(xi)=yi（i=0，1，2，…，n）；2)s(x)在区间(x0,xn)上二阶连续可导；3)在每一个子区间(xi-1,xi)上，s(x)是x的3次多项式。则称函数s(x)是关于型值点列的三次样条函数。简言之，三次样条函数就是全部通过型值点，二阶连续可导的分段三次多项式函数。3、三次样条函数插值求解1)利用公式nnnnnnnnnnMMMMMMMMMMMMM2)1()1()1()1(21111212322121211010100222nnnnnnnMMMMM121012101122110212121212其中系数为hhhiiii11hhhyyhyyiiiiiiiii11116)(1xxhiii此方程组的系数矩阵是n+1阶方阵，并且是三对角线方程组，主对角线元素等于2，其行列式不等于零，因而方程组有唯一确定的解。2)利用插值式计算相应区间的加密数值。hxMhyhxMhyMhxxMhxxiiiiiiiiiiiiiixxiixs)()6()()6(616)(12121313)()(二、拟合拟合也称逼近，在实际工程中，因实验数据常带有测试误差，上述插值方法均要求所得曲线通过所有的型值点，反而会使曲线保留着一切测试误差，特别是当个别误差较大时，会使插值效果显得很不理想。因此，在解决实际问题时，可以考虑放弃拟合曲线通过所有型值点的这一要求，而采用别的方法构造近似曲线，只要求它尽可能反映出所给数据的走势即可。如常用拟和方法之一的最小二乘法，就是寻求将拟合误差的平方和达到最小值(最优近似解)来对曲线进行近似拟合的。上面提到的插值，拟合过程等，在数控加工的编程工作中，一般均被称为第一次逼近（或称第一次数学描述），由于受数控机床控制功能的限制，第一次逼近所取得的结果一般都不能直接用于编程，而必须取得逼近列表曲线的直线或圆弧数据，这一拟合过程在编程中被称为第二次逼近（或称为第二次数学描述）。求通过平面的型值点(xi,yi)（i=1~n）的近似曲线。假设曲线方程为一个多项式)()(010nmxxfymjjjmmxx为了确定m+1系数αj，可将已知的型值点坐标代入上式，可得如下线性方程组yxyxyxnmmnmmmmnxxx102210111021显然，方程的个数大于未知数的个数，一般无解。给出一组系数的值，带入上式就会出现偏差，记作yiiixf)(则这些差的平方和为210)(12yxsinimjjjnii给出这组系数解得原则是，使其误差的平方和s最小，这样确定近似曲线系数的方法叫最小二乘逼近。欲使s最小，则使其系数的偏导数为零，即)~0(0)(210mkisxyxkiinimjjjk三、光顺为了降低在流体中运动物体（如飞机、船舶、汽车等）的运动阻力，其轮廓外形不但要求做得更流线一些，而且要求美观，看上去舒服顺眼，因此就构成了光顺的概念。可见，“光顺”实际上是个工程上的概念，因光顺要求光滑，但光滑并不等于光顺，所以不能与数学上的“光滑”概念等同。光顺的条件包括两个方面的要求：其一是光滑，至少一阶导数连续；其二是曲线走势，其凹凸应符合设计目的。但大量实践表明，仅满足上述两个必要条件，尚不能获得满意结果，故还应增加光顺的充分条件，即：曲线的曲率大小变化要均匀。光顺问题是计算机辅助设计与制造（CAD/CAM）提出的专门课题，也是一个非常复杂，难度较大的问题。目前对曲线与曲面的光顺方法很多，在数控加工实践中常用的是“局部回弹法”。