3.1函数的单调性(北师大版必修1)江西新余四中燕芳

基本信息课题&3.1函数的单调性（北师大版高中数学必修1）作者工作单位联系方式燕芳江西省新余市第四中学（邮编：3380031）联系电话：[phone]邮箱：[e-mail]教材分析函数的单调性是函数的重要性质。从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用。函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。学情分析对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:首先，要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难。其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。教学目标1．知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；2.过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。3.情感、态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。教学重点和难点教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性。教学难点：归纳并抽象函数单调性定义；用定义判断单调性的基本步骤。教学过程教学环节教师活动预设学生行为设计意图1、创设情境，提出问题先复习初中在讲一次函数时提到的函数性质中的一段描述:一次函数当时,函数值随自变量的增大而增大。这就是我们在高中阶段学习函数时的一个重要性质。在此引入课题，然后再引出一个有生活背景的函数问题。问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2：如何用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心。2、探究发现，建构概念为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8，t2=10时，可以看出时，f(t1)f(t2)”针对这一情形进行描述．引导学生再举几个例子复述一下上述情形。然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征。学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间，学生容易举出具体函数如：f(x)=-2x＋2，f(x)=x2＋2x－3，xxf1)(，并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间。问题3：对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1t2时，是否都有f(t1)f(t2)呢?让学生通过观察图象、，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰、逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述。结合不同类型的图象分析以上特征与定义域有何关系？理解函数单调性是本节课的教学重难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受来突出重点、突破难点。学生对概念的认知需要借助直观图象的感知，所以我让学生利用自己学过的图象研究和感知函数的单调性必然在定义域或其子区间上的特点。3、自我尝试运用概念1、为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的。2、对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间。而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？问题4：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明。问题5：证明xxf1)(在区间（1，+∞）上是单调增函数。在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了过去所研究的函数的相关性质，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解。4、回顾反思，深化概念1、1.定义在R上的单调函数满足，那么函数是R上的单调增函数还是单调减函数？2、若定义在R上的单调减函数满足，你能确定实数的取值范围吗？3、设Ixx21,且x1x2，若有（1）0()()21xfxf，则有I上是增函数。（2）0()()21xfxf，则有I上是减函数。学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法。通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化。对于单调性的证明和单调区间的求解可以放在下一课时再安排例题补充讲解和补充习题加强练习。5.具体实例例：证明函数上是减函数。2.能否说函数在实数集上是减函数呢？3.能否说函数在它的定义域上是减函数？在教学中以具体问题为载体,加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用。6、课堂小结，作业布置总结本节课的学习内容①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。③函数在定义域内的两个子区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数。作业布置：一、教材P382、3、5二、补充题:二次函数5232xxy在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数的值唯一吗？通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．并适当补充课处作业题,使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，板书设计（一）定义设Ixx21,且x1x2，若有（1）0()()21xfxf，则有I上是增函数。（2）0()()21xfxf，则有I上是减函数。[注]：①②函数的单调性（二）例题讲解例1例2例3（三）小结1.判断函数单调性的方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明：2.证明函数单调性的解题步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。学生学习活动评价设计学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题的变式设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础。教学反思反思本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发式教学法，学生探究式学习的教学方法。教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。若教学条件允许,还可以教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学。目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。