5-45-5麦克斯韦速率分布律平均自由程

上页下页返回退出上页下页返回退出一、分布的概念气体系统是由大量分子组成，而各分子的速率通过碰撞不断地改变，不可能逐个加以描述,只能给出分子数按速率的分布。例如：1.学生人数按年龄的分布年龄15~1617~1819~2021~22人数按年龄的分布2000300040001000人数比率按年龄的分布20%30%40%10%§5-4气体分子的速率分布规律上页下页返回退出上页下页返回退出速率v1～v2v2～v3…vi～vi+Δv…分子数按速率的分布ΔN1ΔN2…ΔNi…分子数比率按速率的分布ΔN1/NΔN2/N…ΔNi/N…2.气体分子数按速率的分布二、速率分布函数1.研究气体分子的速率分布•把速率分成若干相等的区间•求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数•各区间的分子数占气体分子总数的百分比上页下页返回退出上页下页返回退出速率分布：把速率可能出现的值分成若干相等区间，平衡态下全部分子如何分配到这些区间中去的问题。将速率分成若干相等的区间，如：0~10m/s;10m/s~20m/s;20m/s~30m/s;30m/s~40m/s;设任一速率区间为:设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN~——分布在速率v～v+△v速率间隔内的分子数占总分子数的比率。——分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。NNNvN上页下页返回退出上页下页返回退出2.速率分布函数f(v)的定义在平衡态下，f(v)仅是v的函数。注意：0()limNfNddNN3.速率分布函数f(v)的意义※分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比；※对单个分子来说，它表示分子具有速率在该单位速率间隔内的概率。上页下页返回退出上页下页返回退出4.速率分布曲线在v—v+dv区间的分子数占总分子数的百分比为在0--区间有0()d1f----归一化条件在v1--v2区间21()dNfN()fOd12d()dNfNdNN=面积NN面积上页下页返回退出上页下页返回退出三、麦克斯韦速率分布律早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理导出在平衡态下理想气体分子速率分布函数的具体形式2032202()4π()e2πmkTmfkT麦克斯韦速率分布函数)(fO麦克斯韦速率分布曲线上页下页返回退出上页下页返回退出1.最概然速率四、气体分子速率的三种统计平均值d(0df)p02kTm在一定温度下，以相同的速率间隔来说，速率大小在与vp附近的分子数占总分子数的百分率最大。21.41RTRT上页下页返回退出上页下页返回退出2.平均速率3.方均根速率0()df203220204π()ed2πmkTmkT08πkTm8πRT1.6RT220()df2032220204π()ed2πmkTmkT203kTm3RT1.73RT上页下页返回退出上页下页返回退出(1)一般三种速率用途各不相同讨论分子的碰撞次数用说明讨论分子的平均平动动能用讨论速率分布一般用(2)同一种气体分子的三种速率的大小关系:···p22p上页下页返回退出上页下页返回退出【例题5-2】导体中自由电子的运动可以看作类似于气体分子的运动，所以通常称导体中的自由电子为电子气（electrongas或称Fermigas；EnricoFermi，1901—1954）。设导体中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为F。电子的速率分布函数为2FF(0()0()Af)上页下页返回退出上页下页返回退出（1）画出速率分布函数曲线；（2）用N、F定出常量A；（3）求出自由电子的最概然速率p、平均速率和方均根速率2；（4）电子气中一个自由电子的平均动能，me为电子质量。解：(1)由题意可知可画出函数分布曲线。上页下页返回退出上页下页返回退出(2)由归一化条件0d1f，可知F200dd1fA积分后有3F13A，故3F3A。上页下页返回退出上页下页返回退出(3)由图可知pF。根据平均速率和方均根速率的定义有F2F300F33dd4f12122222F300F33dd5f上页下页返回退出上页下页返回退出（4）电子气中一个电子的平均动能为F22222teeeeF300F11133()dd22210mmfmm上页下页返回退出上页下页返回退出五、麦克斯韦速率分布曲线的性质1）气体分子速率可取0的一切值，但v很小和v很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。Ovf(v)vp2)曲线下的面积Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2上页下页返回退出上页下页返回退出窄条：dd()dddNNfNN分子速率在v—v+dv区间内的概率部分：221121d()dNNfNN区间的概率—分子速率在21vv总面积：00d()d1NNfNN归一化条件上页下页返回退出上页下页返回退出3)分布曲线随m0,T变化曲线峰值右移，总面积不变，曲线变平坦Ovf(v)vp1vp2T2T1T2m0一定曲线峰值左移，总面积不变，曲线变尖锐。Ovf(v)vp2vp1m1m2m1T一定m0一定,02pkTTmT一定,002pkTmm上页下页返回退出上页下页返回退出六、玻耳兹曼分布律1、重力场中粒子按高度的分布麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分子的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀的。若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？问题：(非均匀的稳定分布)ppdphdpghddpnmghddhh+dh20平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为pnkTpkTnddkTnnmghddddnmghnkT00ddnhnnmghnkTmghkTnn0e00eemghkTmghkTpnkTpp(等温气压公式)21测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度—高度表—登高表。mkRghRTpp0e两边取对数pRThgp0lnmghkTpp0e222、玻耳兹曼分布律PmghkTkTnnn00ee它适用于任何形式的保守力场。平衡态下温度为T的气体中，位于空间某一小区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz中的分子数为pkTNnVnxyz/0ddeddd这是粒子关于位置的分布的规律.常称为玻耳兹曼分布律。233、麦克斯韦–玻耳兹曼分布律平衡态下温度为T的气体中，位置在x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz中,且速度在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz区间的分子数为这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。它给出了分子数按能量的分布规律。EEkTxyzmNnxyzkTkp320d()edddddd224【例题5-3】飞机起飞时，压强p0=1atm、温度t=27C°。当压强变为p=0.8atm时，飞机的高度是多少？已知空气的摩尔质量为29×10-3kg·mol-1，1atm=1.013×105Pa，忽略温度随高度的变化。25解：由0emghkTpp可得00lnlnppkTRThmgpgp将R=8.31J·K-1·mol-1，T=300K，=29×10-3kg·mol-1，g=9.80m·s-2代入，可得飞机的高度为38.313001ln1.9629109.800.8h（km）26§5-5分子的平均碰撞频率平均自由程•一、平均碰撞次数•单位时间内一个分子与其他分子碰撞的平均次数称为平均碰撞频率，用表示。Z气体分子碰撞所走的折线27•假定每个分子都是直径为d的弹性小球，并且假定只有某一个分子以平均速率运动，而其他分子都不动。•由于运动分子与其他分子碰撞，其运动轨迹是一条折线，如图所示。•由图中可以看出，凡是球心离折线的距离小于d的其他分子，都将和运动分子发生弹性碰撞。•如以一秒内球心所经过的轨道为轴，以d为半径，长为，作一圆柱体，它的体积为，这个圆柱体的截面积叫做碰撞截面。分子碰撞区域示意图2πd2πd28•设单位体积内分子数为n，则圆柱体的分子数为。球心在圆柱体外的分子就不会与A相碰。显然，分子A在1s内与其他分子发生碰撞的平均频率为•以上结果是假定一个分子运动而其他分子静止而得到的，实际上所有分子都在运动，上式必须加以修正。利用麦克斯韦速度分布律可以证明，气体分子的平均相对速率与平均速率内的关系为•为此，需将式中的替换成。于是式修正为•上式说明分子平均碰撞频率与分子的有效直径、分子数密度及平均速率有关。在标准状态下，一个分子与其他分子的平均碰撞频率约为几十亿次之多。2πdnZ2πZdnu2uu22πZdn29•二、平均自由程•每两次连续碰撞间一个分子自由运动的平均路程，称为平均自由程（meanfreepath），用表示。•由于1s内分子平均走过的路程为，一个分子与其他分子碰撞的平均频率为，因此平均自由程为•该式表明，分子的平均自由程是与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比。Z212πZdn30•又因为将，所以上式可改写为•该式表示，平均自由程与分子的平均速率无关。当温度恒定时，平均自由程与压强p成反比，压强越小（空气越稀薄），平均自由程越长。pnkT22πkTdp31【例题5-4】求氢分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞次数，已知氢分子的有效直径为2.0×10-10m。解：氢分子的平均自由程为237210251.38102732.10102π23.14(2.010)1.01310kTdp（m）氢分子的平均速率为33888.312731.7010π3.142.010RT（m·s-1）平均碰撞次数为3971.70108.10102.1010Z(s-1)