5一元线性回归模型2

第7章双变量模型：估计与检验127.1古典线性回归模型1.回归模型是线性的。2.X是非随机的变量，或X与误差项u不相关。3.给定Xi,误差项的期望为0：E(u|Xi)=0。4.误差项的方差为常数，即var(ui)=σ2——同方差假定5.误差项ui之间不相关，因此对所有的i≠j，cov(ui,uj)=0—无序列相关假定6.误差项服从正态分布。假设1—5：古典线性回归模型的定义iiiuXY3异方差4同方差Y储蓄X收入2x3xXY1x5异方差X收入Y储蓄1x2x3xXY6序列相关ettuu77.2OLS估计量的方差与标准误2ˆˆˆiiiYXxyx22ˆ()iVarx222ˆ()iiXVarnxˆ的方差：ˆ的方差：22ˆ2ine2的估计量ˆ：残差的标准差s，又称为回归标准误，度量了真实值与估计量的离差。87.3OLS估计量的性质如果满足古典线性回归模型的基本假定，则在所有线性无偏估计量中，OLS估计量具有最小方差。即OLS估计量是最优线性无偏估计量（BLUE）（BestLinearUnbiasedEstimator）。高斯-马尔可夫定理（Gauss-Markovtheorem）9一元回归模型:Y=α+X+u古典线性回归模型的假定下，最小二乘估计量，为最佳线性无偏估计量。OLS估计量其他估计量ˆ10)(Var),(Cov)(Var),(Cov),(Cov0)(Var),(Cov),(Cov),(Cov)(Var])[,(Cov)(Var),(CovˆXXXXXXXXXXXXXXXYXXYˆˆˆuXYOLS估计量的性质11)(Var),(Cov)(Var),(Cov),(Cov0)(Var),(Cov),(Cov),(Cov)(Var])[,(Cov)(Var),(CovˆXuXXuXXXXuXXXXXuXXXYXXYˆˆˆuXY回归估计量的性质12)(Var),(Cov)(Var),(Cov),(Cov0)(Var),(Cov),(Cov),(Cov)(Var])[,(Cov)(Var),(CovˆXuXXuXXXXuXXXXXuXXXYX应用协方差的法则，将分子分解为三部分。XYˆˆˆuXY回归估计量的性质13)(Var),(Cov)(Var),(Cov),(Cov0)(Var),(Cov),(Cov),(Cov)(Var])[,(Cov)(Var),(CovˆXuXXuXXXXuXXXXXuXXXYXXYˆˆˆuXY回归估计量的性质14)(Var),(Cov)(Var),(Cov),(Cov0)(Var),(Cov),(Cov),(Cov)(Var])[,(Cov)(Var),(CovˆXuXXuXXXXuXXXXXuXXXYXXYˆˆˆuXY回归估计量的性质15)(Var),(Cov)(Var),(Cov),(Cov0)(Var),(Cov),(Cov),(Cov)(Var])[,(Cov)(Var),(CovˆXuXXuXXXXuXXXXXuXXXYXXYˆˆˆuXY回归估计量的性质16一元回归模型:Y=α+X+u无偏性（Unbiasedness）),(Cov)(Var1)Var(),(Cov)()Var(),(Cov)ˆ(uXEXXuXEEXuXEE)Var(),(CovˆXuX高斯-马尔可夫定理17),(Cov)(Var1)Var(),(Cov)()Var(),(Cov)ˆ(uXEXXuXEEXuXEE)Var(),(CovˆXuX高斯-马尔可夫定理一元回归模型:Y=α+X+u无偏性（Unbiasedness）18),(Cov)(Var1)Var(),(Cov)()Var(),(Cov)ˆ(uXEXXuXEEXuXEE高斯-马尔可夫定理)Var(),(CovˆXuX一元回归模型:Y=α+X+u无偏性（Unbiasedness）19X与u的协方差的期望为0。斜率系数具有无偏性。),(Cov)(Var1)Var(),(Cov)()Var(),(Cov)ˆ(uXEXXuXEEXuXEE)Var(),(CovˆXuX高斯-马尔可夫定理一元回归模型:Y=α+X+u无偏性（Unbiasedness）20XXXYˆˆˆ下面证明截距系数的无偏性。一元回归模型:Y=α+X+u无偏性（Unbiasedness）高斯-马尔可夫定理21代入总体回归函数XuXXYˆˆˆ一元回归模型:Y=α+X+u无偏性（Unbiasedness）高斯-马尔可夫定理22XXEXXXEuEXEEXuXEE)ˆ(0)ˆ()()()()ˆ()ˆ(取期望值XuXXYˆˆˆ一元回归模型:Y=α+X+u无偏性（Unbiasedness）高斯-马尔可夫定理23XXEXXXEuEXEEXuXEE)ˆ(0)ˆ()()()()ˆ()ˆ(分解表达式XuXXYˆˆˆ一元回归模型:Y=α+X+u无偏性（Unbiasedness）高斯-马尔可夫定理24XXEXXXEuEXEEXuXEE)ˆ(0)ˆ()()()()ˆ()ˆ(XuXXYˆˆˆ一元回归模型:Y=α+X+u无偏性（Unbiasedness）高斯-马尔可夫定理25参数估计量的期望值等于参数值本身，即具有无偏性。XXEXXXEuEXEEXuXEE)ˆ(0)ˆ()()()()ˆ()ˆ(XuXXYˆˆˆ一元回归模型:Y=α+X+u无偏性（Unbiasedness）高斯-马尔可夫定理267.4OLS估计量的抽样分布假定误差项ui服从正态分布ui~N（0,σ2）正态分布的线性函数仍服从正态分布OLS估计量服从正态分布2ˆˆˆxyYXx27一元回归模型:Y=α+X+u回归系数估计量的分布ˆ()E影响斜率系数估计效果的因素？ˆ:ˆ的分布),(~ˆ22ixN2ˆiiixyx22ˆ()iVarx28影响估计效果的因素？ˆ()Eˆ:ˆ的分布222ˆ~(,)iiXNnxXYˆˆ222ˆ()()iiXVarnXX一元回归模型:Y=α+X+u回归系数估计量的分布29-15-10-50510152025303505101520-15-10-50510152025303505101520YYXXY=3.0+0.8XX变化不同一元回归模型:Y=α+X+u22ˆ()iVarx222ˆ()()iiXVarnXX30一元回归模型:Y=α+X+u-15-10-50510152025303505101520-15-10-50510152025303505101520YYXXY=3.0+0.8XX变化相同22ˆ()iVarx222ˆ()()iiXVarnXX31一元回归模型:Y=α+X+u回归系数的估计量服从正态分布，其特征值为：22ˆ()ˆ()iEVarx222ˆ()ˆ()()iiEXVarnXX22)ˆ,ˆ(:ˆˆxXCov的协方差和3222ˆ2ˆ:issx的方差222ˆ2ˆ:iiXssnx的方差:2的无偏估计随机扰动项方差一元回归模型:Y=α+X+u回归系数估计量的分布——随机扰动项的方差未知22)ˆ,ˆ(ˆ:ˆˆsxXvCo的协方差的估计量和2ˆ~ˆNts2ˆ~ˆNts222ˆ2isNe337.5参数的估计与检验分布～和标准化的tˆˆ]ˆ,ˆ[:ˆˆˆstst的置信区间222ˆ:xss其中]ˆ,ˆ[:ˆˆˆstst的置信区间222ˆ2:Xssnx其中2ˆ~ˆNts美国咖啡消费与平均零售价格的关系uXYii:回归方程每人每日杯数每磅价格（美元）2.572.502.352.302.252.202.111.941.972.062.020.770.740.720.730.760.751.081.811.391.201.17ˆˆst建立回归模型，以95%的置信标准,估计咖啡的价格对其消费量的影响。1)计算斜率系数的点估计值ˆ2)计算斜率系数的置信区间美国咖啡消费与平均零售价格的关系)114.0()1216.0(:4795.06911.2ˆ:seXYii回归方程每人每日杯数每磅价格（美元）2.572.502.352.302.252.202.111.941.972.062.020.770.740.720.730.760.751.081.811.391.201.17114.0262.24795.0]4537.0,5052.0[即ˆˆst试以95%的置信标准,估计斜率系数。VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C2.6911240.12162222.126860.0000X-0.4795290.114022-4.2055920.0023258.04795.036假设检验置信区间法显著性检验法2ˆ~ˆNts37假设检验检验模型是否有效—原假设：β=0)2(~ˆ:ˆNtst检验统计量)2(~ˆ:ˆ0Ntst检验统计量检验回归系数是否等于假定值—原假设：β=β02ˆ~ˆNts美国咖啡消费与平均零售价格的关系每人每日杯数每磅价格（美元）2.572.502.352.302.252.202.111.941.972.062.020.770.740.720.730.760.751.081.811.391.201.17试以95%的置信标准,估计斜率系数。VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C2.6911240.12162222.126860.0000X-0.4795290.114022-4.2055920.00231）变量显著性检验：t值，p值2）检验：有观点认为斜率系数为-0.5t值39从收入与教育水平的数据得到以下回归方程：平均收入＝0.7437+0.6416×教育水平se=（0.8355）（）t=（）（9.6536）R2＝0.8944n=131）将缺数填入（）中。2）怎样解释系数0.6416？3）你会不会拒绝真实斜率系数为0的假设？为什么？7.6拟合优度（判定系数）概念：模型对样本观测值的拟合程度。目的：构造一个不含单位，可以相互进行比较，而且能直观判断拟合优劣的指标。如左，两个问题，都满足LS，但拟合程度明显不同。20304050607080010203040YX-30-20-100102030010203040Y3FX41总平方和、回归平方和、残