5_2力矩转动定律转动惯量.

第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量Pz*OsinFrMMFrd:力臂d刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.FrFrM对转轴Z的力矩F0,0iiMF0,0iiMFFFFF一力矩MFd第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量zOkFr讨论FFFzFrkMzsinrFMzzFF1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量F2）合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩zFF第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量例1：如图，质量为m，长为L的匀质细杆，在水平面内可以绕固定点O逆时针转动。细杆与水平面之间的滑动摩擦系数为。求：摩擦力对于O点的力矩。OL第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量解：取一微分元dl，则dm=dl，=m/Lgdmdf方向如图dm对O点的力矩为:)(kdlglMdMOdldfzxylfdlMd)(kldf)(kgdmlLkdlgl0)()(21kmgL第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量Ormz二转动定律FtFnFsinrFMttmaF2jjjjrmMMie2）刚体质量元受外力，内力jFejFiM1）单个质点与转轴刚性连接m外力矩内力矩2mrMtrFOzjmjrjFejFimr2mr第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.2jjjjjjrmMMiejiijMM)rmMjjjj2(e转动定律JM2jjjrmJ定义转动惯量OzjmjrjFejFijijM0F=ma第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量22,djjjJmrJrm三转动惯量物理意义：转动惯性大小的量度.质量离散分布刚体的转动惯量2221122jjjJmrmrmr转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22：质量元md第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量对质量线分布的刚体：：质量线密度lmdd对质量面分布的刚体：：质量面密度Smdd对质量体分布的刚体：：质量体密度Vmdd：质量元md质量连续分布刚体的转动惯量22djjjJmrrmlddSdV第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量lO´O解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元rrmddlrrJ02drd32/2/2121lrrJlld231mlrrrmrJddd22例1一质量为、长为的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.mlrd2l2lO´O2121ml如转轴过端点垂直于棒r第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量ORORRrrJ03dπ2rdr例2一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环rrd2πRm而rrmdπ2d圆环质量221mRJ所以rrmrJdπ2dd32圆环对轴的转动惯量4π2R第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量hzRrdr例3试求质量均匀分布的圆柱体对其对称轴z轴的转动惯量。已知圆柱体的质量为M,高度为h,半径为R.解设圆柱体密度为，在盘上取半径为，宽为的圆柱壳rrdrrhmddπ2圆柱壳质量)(π2hRM而rrhhRMmddπ22rrRMmrJddd3222圆柱壳对轴的转动惯量第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量rrRMmrJddd3222hzRrdrRRrrRMJJ03202dd221MR第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量例4.求质量m,半径R的球壳对直径的转动惯量解：取离轴线距离相等的点的集合为积分元24Rmdsin2d2dRRlrsdsin21ddmsmdsin21dsindd3222mRmRmrJ023232dsin21dmRmRJJoRlddr第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量例5.求质量m,半径R的球体对直径的转动惯量解：以距中心，厚的球壳为积分元rrdrrVd4d2334RmVmdd342d2d32dRrmrrmJ234052d2dmRRrmrJJRRorrd第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量2mdJJCO四平行轴定理P转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量CJmddCOm注意2221mRmRJP圆盘对P轴的转动惯量RmO第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量例4质量为的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从BmCm静止落下距离时，其速率是多少？yAmABCAmBmCm第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmAATmaBBBmgTma212BACRTRTJmRRa解（1）隔离物体分别对物体A、B及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定理列方程.'T2FT1FCPCF第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量2CBABmmmgmaABABC2AmmgTmmmACBABC(2)2BmmmgTmmm如令，可得0CmABABABmmgTTmm（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量例5一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.lm解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定理得NFJmglsin21第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量式中231mlJtdd得sin23lg由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分得)cos1(3lgJmglsin21ddddddt第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量例6：一根长为l，质量为m的匀质细杆，一端与光滑的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定一质量也是m的小球，且小球半径Rl。设杆由水平位置自由释放。求：杆下摆至任意角度时的角速度和角加速度mgmgO第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量解：细杆在下摆过程中，重力矩作用杆的质心处，即：cos21lmgM小球的重力矩：cos2lmgM由转动定律：222131mlmlJJJJMM球杆所以有：)31(coscos222mlmllmglmg即：lg8cos9mgmgO第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量即：dlgdlgdddtddddtd8cos98cos9即：008cos9dlgd解得：lg4sin9