4.2最大值最小值及其在最优化中的应用

§15-2函数的最大值与最小值复习旧知识：1、f(x0)是函数f(x)的一个极大值这一概念是怎样叙述的？2、f(x0)是函数f(x)的一个极小值这一概念是怎样叙述的？3、求函数的极值的步骤是哪四步？0xyabx0y=f(x)f(x0)f(b)一、函数的最大值与最小值定义:设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，如果存在点x0∈[a,b]，使得对于所有x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）。最大值和最小值统称最值。0xyabx0y=f(x)f(x0)f(b)最大值最小值可以看出,函数在区间[a,b]上的最大值和最小值要么是区间端点的函数值，要么是极值。而极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大值和最小值来。最大值和最小值统称最值。求函数最值的一般方法：先求出f(x)在[a,b]内的所有驻点（或不可导但连续的点），将这些点的函数值与区间端点的函数值f(a),f(b)进行比较，其中最大（小）的就是函数在区间[a,b]上的最大（小）值例1：求函数在区间[-4，4]上的最值解：令，解之得驻点驻点函数值端点函数值比较以上函数值的大小，可得函数的最大值为最小值为3093)(23xxxxf)3)(1(3963)(2xxxxxf0)(xf3121xx35)1(f3)3(f46)4(f10)4(f35)1(f46)4(f注：如果连续函数f(x)在区间（有限或无限，开或闭）内只有一个驻点x0，而这个驻点又是极值点，那么，当f(x0)是极大值时，它就是最大值；当f(x0)是极小值时，它就是最小值。yax0bxoxax0bo练习:习题15-2第题二、函数最值应用问题举例在工农业生产，科学技术研究和经营管理中，常常会遇到在一定条件下，怎样使用料最省，产量最多，成本最低，效益最大等最优化问题。这些问题通常可以用数学上求函数的最大值或最小值的办法来解决。下面的实际应用问题，我们曾经建立过它的数学模型。例题1：有一边长为48厘米的正方形铁皮，从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正方形，才能使所做的铁盒容积最大？4848-2xx48-2xx解：（1）设截去的小正方形边长为x,盒子的容积为y.盒子容积即长方体体积，等于底面积乘高，即盒子容积与截去的小正方形边长之间的函数关系为yxx2)248()24,0(x4848-2xx48-2xx（2）问题转化成求容积y的最大值，同时求出小正方形边长x.由上一节求函数最值的程序，应先求导数及驻点。)8)(24(12)648)(248()2484)(248()248()2()248(2)248(])248[(222xxxxxxxxxxxxxxyyxx2)248()24,0(x令解之得驻点（此根不在定义域范围，舍去）0y24821xx（3）由上一节求函数最值的程序，应把驻点的函数值与闭区间端点的函数值进行比较，但这是开区间，没有端点，又只有一个驻点，根据常识，铁盒必然存在一个最大容积，因此这个驻点就是使函数（铁盒容积）取最大值的最大值点。即当截去的小正方形边长为8（厘米）时，使铁盒容积最大。（1）设出自变量和函数的字母，列函数式，并找出自变量取值范围。（2）求导数，并求的根，即驻点。（3）如果定义域为闭区间，则用求函数最值的办法求解。如果定义域为开区间，且只有一个驻点，那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或最小值点。由上例可以得出求实际应用问题最大值和最小值的一般步骤：0)(xf互动练习题:如图,靠墙建一个矩形的猪圈,现只有围60米的建筑材料.问长和宽怎样选取,可以使猪圈的面积最大?x小结:1,求函数最值的一般方法：先求出f(x)在[a,b]内的所有驻点（或不可导但连续的点），将这些点的函数值与区间端点的函数值f(a),f(b)进行比较，其中最大（小）的就是函数在区间[a,b]上的最大（小）值2,求实际应用问题最大值和最小值的一般步骤：（1）设出自变量和函数的字母，列函数式，并找出自变量取值范围。（2）求导数，并求的根，即驻点。（3）如果定义域为闭区间，则用求函数最值的办法求解。如果定义域为开区间，且只有一个驻点，那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或最小值点。0)(xf课后作业辅导与测试：P