6-6一阶电路(冲击响应)

§6-6一阶电路的冲激响应一、单位冲激函数的定义：1)(0)(dttotott或ot0)(ott1)(dtt单位冲激函数又称函数或狄拉克函数。)(t可以用来描述某些物理现象，如冲击力、闪电等一些作用时间短，强度大，能达到一定作用结果的情况。用一条短路线对电容器放电，放电电流因OR而非常大，时间很短，其情形也比较近似)(t函数。)(t函数可以看作单位脉冲函数的一种极限情况，（数学意义单位脉冲函数P(t)1)(dttPtotoototP1)(当0时1tP(t)1/0而o即得otoototpo1)(lim1)(dttP上述表达的极限就是)(t)(t是一种理想化的或者说理论上的脉冲波型单位冲激函数的波形：如果冲激函数脉冲发生的时间不是ot而是ott，而且强度不是1而是k（波形面积为k），则可表示为)(ottk，其中)(ott称为延时（延迟）冲激函数。对于单位冲激函数)(t当ot时，0)(t对ot时连续的)(tf有)()()()(tofttf∴)()()()()(ofdttofdtttft)(t10tk)(tk0t0f(t)t0k)(ott同理，对于在任意时刻t处连续的函数)(tf有)()()(fdtttf这个式子说明了函数有将某函数在某时刻的值“筛”出来的本领。这一性质称为函数的抽样特性或“筛”选特性。单位冲激函数)(t与单位阶跃函数)(t的数学关系：)(ot10)()(totdt可见单位阶跃函数)(t可以看作单位冲击函数)(t的积分。反之，)(t是单位阶跃函数)(t的导数。)()(tdtdt因为)(t在ot处跳变所以ot处其一阶导数为大。当然，这些都是从理论角度得到的理想化的结论。物理实例：电容与理想电压源)(tuS接通。设oouC)(0t时从ooCu值从oouC)(跳变到1)(ouC)(tuSiCuCC)(0oot时流过电容的电流为无穷大)()(tCdttdCdtduCiCC电流为一冲激函数，此冲激电流在oo一瞬间使电容极板上聚积了C库仑电荷，强制Cu从oouC)(跳变到了1)(ouC根据替代定理，等效为：如果将一个)(tuS的电压源与1L的电感接通]0)([oiL从oo，)(tuuSL0000)(1)(1)(1)0(dttuLdttuLdttuLiLLLL00)(1)0(dttLiLLiL1)0(Li从ooiL)(跳变到LoiL1)(（A）单位冲激电压在ot时在电感中建立了即1WB的磁链，使电感电uCCiS=)(tCiLuL)(tuSL流Li发生相应跳变。二、冲激响应)(th冲激响应——电路在单位冲激函数)(t激励下的零状态响应，记为)(th。一阶电路在单位冲激函数)(t激励下的零状态响应称为它的单位冲激响应。它的过程可以分为两个阶段：（1）在o到o区间的)(t作用下的零状态响应，它其实是在一瞬间完成，使电容电压或电感电流发生了跳变，也就是使贮能元件获得了能量贮存。（2）ot时，虽然ot)(，但)(t已使电路中Cu或Li在ot时有了非零初始值，获得了贮存能量，所以ot以后的电路响应将是由)(ouC或)(oiL产生的零输入响应。显然，求得)(t在oo时间内所引起的初始状态值（改变），即)(ouC或)(oiL，是求得响应的关键。R-C电路:uCiCRC)(t电路方程为：)(1tuRdtduCCC且oouC)(由于)(t电流存在，显然不能断定)(ouC等于)(ouC，为求)(ouC，将方程两边从oo求积分。ooooCooCdttdtuRdtdtduC)(111)()(00dtuRoCuoCuCCC显然，只有当Cu为冲激函数时，dtuC00才不为零，但如果Cu为冲激函数，那么dttdCdtduCiCC)(，为冲激函数的一阶导数，这样显然不能满足KCL方程。所以Cu只能为有限值，dtuC00=0所以有1)()]()([oCuououCCCCCouC1)(当ot时，电流源为零，开路，显然tCCeouu)()(1teCRCtR-L电路，电路方程为)(tdtdiLRiuLL(0)0(Li)电流Li不可能为冲激函数，否则不能满足KVL∴oooooouLLdttdtdtdiLdtRi)(有1)(oLiLLoiL1)(ot冲激电压源相当于短路，电路等效为：)(1)(teLeoiittLLRLot)(电感电流在oo发生了跳变。电感电压)](1[teLdtdLdtdiLutLL)()(tdtdeedtdttt)()(tteLRtiLuL)(tuRLiLuLRLt1/LiL0t-R/L)(tuL0冲激函数激励可使电路获得一个非零初始状态。冲激电流可使与之串接的电容电压跳变，冲激电压可使与其并联的电感电流跳变。P149表6-2一阶电路的阶跃响应和冲激响应表。线性电路的阶跃响应与冲激响应之间具有一个重要关系：如)(ts为某电路的阶跃响应，而)(th为同电路同一量的冲激响应，则二者之间有：)()(tsdtdthdtthts)()(此关系请大家自己求证总结：单位冲激响应的分析法：1.dttdsth)()(法单位阶跃响应容易确定。计算单位冲激响应的一般步骤：（1）将电路激励由)(t换作)(t（2）计算)(t激励下相应的零状态响应)(ts（3）由dttdsth)()(计算)(th2.零输入响应法步骤：（1）确定在)(t激励下电路的初始状态)(ouc或)(oiL。（2）单位冲激响应即是对应电路的零输入响应，即))()((teoyyt)()(teouutcc)()(teoiitLL关键是步骤（1），如何确定)(ouc或)(oiL？简捷法：在有L、C元件的电路中，设冲激函数出现在0t处，则在该时刻，将电感器L开路，电容器C短路，来确定开路电压)(ouL与短路电流)(oic。（在)0(Lu与)0(ci中均含有冲激函数）。由此来求)(ouc和)(oiL：oocccdtoicouou)(1)()(ooLLLdtouLoioi)(1)()(例如对P146图6-23iCuCRC)(tiC(0)R)(tt=0时刻∴)()(toicocccdtoiCououo)(1)()(CdttCo-1)(10o与书上方法结果相同)()(touL∴LdttLdtouLoioiooooLLL1)(10)(1)()(例1)(tRLuLiL)(tRuL(0)iL(0)t=0时刻R1LiLR2uS已知：,11R22R，HL3，AoiL0)(Vtus)2(2求：冲激响应Li并画其波形解：方法一：用dttdsth/)()(法分析（1）确定)(ts设)(tus电感电流为)(sLitsLsLsLsLeioiii)]()([)()()()()(te]10[1s(t))((t))1()0()()1(5.45.4AetAett（2）确定)(th)]()1[()(5.4)(tedtddttdsithL))((5.415.4Atet)(th(3)计算当)2(2tus时的冲激响应Li)2(2thiL)2(5.4125.42tet方法二：零输入响应法（1）由Vtus)2(2引起的零输入响应st2时，电感器开路后的电路：sLuRRRu122)2(Vt)2(34由)2(Lu在)2,2(内确定初始状态)2(Li：22)2(1)2()2(dtuLiiLLL22)2(34310dttA5.42（2）由零输入响应确定)(tiL2)2()(2teititLLR1R2uSuL(2)25.425.42tet可见，两种方法结果一致。)(tiL的波形思考：本题中当0)(oiL设AoiL1)(全响应=？全响应=由)(oiL引起的零输入响应+由)2(2t引起的冲激响应。例2已知：N0为无源线性零状态网络当Vtus)(时，)(10)(2tethitA求：当)(tus时的电流i解：)(tsitdh)(iL(A)t(s)022/4.5N0uSitode210toe]21[102)()1(52tetA（式中),(o内的积分为零，∵0t时0)(t）例3理想运放，oouC)(，设（a）)(tUuin（b）)(tuin求：0u解：（a）理想运放有：Couu，21iidtduCuRtURoo211)(1可得)(122tURRudtduCRoo解得))(()1(212VteURRuCRto)(tUsu0uCuini1i2R1R2C（b）当)(tum时、其响应为)(th))((1)()(21VteCRdttdsthuCRto