63二元函数微分法的应用

一、二元函数的极值二、条件极值与拉格朗日乘数法6.3二元函数微分法的应用实例：某工厂生产两种产品1与2，出售单位分别为10元与9元，生产x单位的产品1与生产y单位的产品2的总费用是求两种产品各生产多少，工厂可以取得最大利润(,)Lxy利润函数22(109)400230.01(33)xyxyxxyy求最大利润即为求二元函数的最大值.I、问题的提出22400230.0133xyxxyy一.二元函数的极值定义6.3.1设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)都有),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf(或)，极大值和极小值统称为极值.则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极大值(或极小值).设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的偏导数极大值点和极小值点统称为极值点.称为极大值点(或极小值点)，使函数取得极大值的点(或极小值的点)(x0,y0)，定理6.3.1(极值存在的必要条件)且在点P0处有极值，则在该点的偏导数必为零，即,0,00)(yxfx.0,00)(yxfy,),(00yxfx),(00yxfy存在，例如,点)0,0(是函数xyz的驻点，但不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点Problem：如何判定一个驻点是否为极值点？注意无极值。是驻点，但再如：函数zyxz)0,0(,22在点(0,0)有极大值,(0,0)不是驻点定理6.3.2(极值存在的充分条件)令,,00)yxfAxx(,,00)(yxfBxy,,00)(yxfCyy2,PACB则，(1)当P0且A0时,f(x0,y0)是极大值，当P0且A0时，f(x0,y0)是极小值；000000(,)(,)(,)0,(,)0,xyzfxyxyfxyfxy在点的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又设函数也可能没有极值.函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可能有极值，(3)当P=0时，(2)当P0时，不取极值；(1)先求偏导数；yyxyxxyxfffff,,,,(2)解方程组,0),(,0),(yxfyxfxy求出驻点；(3)确定驻点处),,(00yxfAxx据此判断出极值点，并求出极值.若函数z=f(x,y)的二阶偏导数连续，就可以按照下列步骤求该函数的极值：(xyfB,),00yx),(00yxfCyy及的符号，2PACB的值例1求函数的极值.124),(223yxyxxyxf解(1)求偏导数,283),(2yxxyxfx,22),(yxyxfy,86),(xyxfxx,2),(yxfxy.2),(yxfyy(2)解方程组,0283,0222yxxfyxfxy得驻点(0,0)及(2,2).(3)列表判断极值点.驻点(x0,y0)(0,0)(2,2)结论极大值f(0,0)=1f(2,2)不是极值A84B22C222的符号PACB+例2.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.(1)在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数(,)66,xxfxyx(,)0,xyfxy(,)66yyfxyy1,0120P1,0120,xxf,66660Pxyxy得：(3)在点(3,0)处不是极值;(4)在点(3,2)处为极大值.3,00P3,26(12)0P3,2120,xxf(2)在点(1,2)处不是极值;,66660Pxyxy(,)66,xxfxyx二、最大、最小值应用问题(Applications)最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大)(大)例3：某工厂生产两种产品1与2，出售单位分别为10元与9元，生产x单位的产品1与生产y单位的产品2的总费用是求两种产品各生产多少，工厂可以取得最大利润(,)Lxy利润函数22(109)400230.01(33)xyxyxxyy22400230.0133xyxxyy22860.0133400xyxxyy解方程组(,)80.0160(,)60.0160xyfxyxyfxyxy得区域D内唯一驻点(120,80),(,)Lxy22860.0133400xyxxyy0.060,0.01,0.06xxxyyyLLL223120,800.010.063.5100,P120,80故为极大值点，由于只有一个驻点，故为最大值点例4.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,m2yxyxyx2220)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.)2,2(33323222233实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．xyyxyxUlnln),(问题的实质：求在条件下的极值点．yxyxUlnln),(200108yx三、条件极值拉格朗日乘数法条件极值(ConditionalMaximumandMinimumValues)极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx中解出从条件))(,(xxfz第一步：引入辅助函数如求二元函数下的极值,第二步：解方程组在条件得驻点.),(yxfz0),(yx),(),(yxyxfF第三步：判别是否为极值方法2拉格朗日乘数法(LagrangeMultipliers).Extension拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件),,(zyxfu,0),,(zyx0),,(zyx),,(),,(),,(21zyxzyxzyxfF例6.要设计一个容量为2单位则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件220zyyz220zxxz0)(2yxyx20xyz水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问2xyz2()Sxzyzxy2()(2)Fxzyzxyxyzxyz得唯一驻点32,xyz由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为相等时，所用材料最省.因此,当高xyzConclusions1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法,),(yxfz0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.),(yxfz0),(yx),(),(yxyxfF