6关于等式与不等式的基本证明全程版-高等数学竞赛知识汇总

1关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值定理介值定理：若)(xf在],[ba上连续，且()()fafb，对于(),()fafb之间的任一个数C，),(ba，使()fC．（,ab）介值定理推论1（零点定理）：若)(xf在],[ba上连续，且()()0fafb，则),(ba，使()0f．（,ab）介值定理推论2（零点定理）：若)(xf在(,)ab内连续，且()()0fafb，则),(ba，使()0f．（,ab）介值定理推论3（零点定理）：若)(xf在(,)内连续，且lim()lim()0xxfxfx，则),(ba，使()0f．（,ab）介值定理推论4：若)(xf在],[ba上连续，min()fxm，max()fxM，且Mm，对于,mM之间的任一个数C，则),(ba，使()fC．（可能取到a或b）（二）代數基本定理：任何一個非零的一元n次实系数多項式，都至多有n個实数零点．（三）积分中值定理定积分中值定理：若)(xf在],[ba上连续，则(,)ab，使()()()bafxdxfba．定积分中值定理推论1：设)(),(xgxf在],[ba上连续，且()gx在],[ba上不变号，则(,)ab，使babadxxgfdxxgxf)()()()(．对于定积分中值定理及其推论1，可能取到a或b．（四）微分中值定理罗尔中值定理：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且()()fafb，则),(ba，使()0f．罗尔中值定理的推广形式1：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)(xf有2n个不同的零点，则'()fx在),(ba内至少存在1n个不同的零点．罗尔中值定理的推广形式2：若)(xf在),(ba内可导，且()()faAfb，则),(ba，使()0f．罗尔中值定理的推广形式3：若)(xf在[,)a内连续，在(,)a内可导，且lim()()xfxfa，则(,)a，使()0f．罗尔中值定理的推广形式4：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且'()0fx，则)(xf在),(ba内为单调函数．拉格朗日中值定理：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，则),(ba，使()()()()fbfafba．（五）不等式定理凹凸性不等式定理：若()()0,fx则()()()()22fxfyxyf．积分不等式定理：若()()fxgx，则()()bbaafxdxgxdx（ab），但反之不然．积分估值定理：若()fx在[,]ab（ab）上连续，则minmax()()()()()bafxbafxdxfxba．积分绝对值不等式定理：()()bbaafxdxfxdx（ab）．2二、典型例题题型一恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法例1、求证：（1）()0()()()(),fxaTTafxfxTfxdxfxdx连续（2）()00()()()()fxnTTfxfxTfxdxnfxdx连续．提示：（1）令0()()(),aTTaFafxdxfxdxaR用求导法，这比用换元法方便（2）令00()()()nTTGnfxdxnfxdx，用求导法错误，因nZ,用换元法方便111(1)0000000()()()()()nnnxkTunTkTTTTkTkkkfxdxfxdxfkTudufxdxnfxdx．例2、设)(xf在],[ba上连续，且0)(xf，若0)(badxxf，则在],[ba上，0)(xf．证明：用反证法，假设0)(),,(00xfbax，则),(),(00baxx)0(0)(xf，则baxxxxfdxxfdxxf),(,0)(2)()(0000积分中值定理.这与0)(badxxf矛盾，故原式得证．题型二方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法（1）)(xf在],[ba或),(ba上连续，则()fx直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设)(xf在],[ba上连续，且0,,qpbdca，求证：方程)()()()(dqfcpfxfqp在),(da内至少有一根．提示：取)()()()()(dqfcpfxfqpxF在],[dc上用零点Th．例2、设)(xf在),(上连续，且0)(limxxfx，求证：),(使0)(f．证明：设xxfxF)()(，则)(xF在),(上连续，])(1[lim)(limxxfxxFxx，01x，使0)(1xF同理，由,)(limxfx02x，使0)(2xF故，)(xF在],[21xx上满足零点定理，因而，原题得证．例3、)(xf在],[ba上连续，0],,[iitbax),,2,1(ni，且11niit，求证：],[ba使niiixftf1)()(．（此为1{()}nifx的加权平均值）提示：()mfxM，有niniiniiiiMMtxftmtm111)(．事实上，对于定积分中值定理的证明同上，111()bbbaaammdxfxdxMdxMbababa则(,)ab，使1()()baffxdxba．（此为()fx在],[ba上的平均值）3例4、设ka是满足012)1(1nkkkka的实数，求证：nkkxka10)12cos(在)2,0(内至少有一实根．提示：令1'()cos(21)nkkFxakx，构造nkkkxkaxF112)12sin()(在]2,0[上用罗尔．例5、设)(xfy为]1,0[上的任一连续函数，且1010)()(dxxxfdxxf求证：0)1)((xxf在)1,0(内至少有一根．提示：令'()()(1)Fxfxx，构造1)1)(()(xdtttfxF在]1,0[上用罗尔定理．例6、设)(xfy为]0,1[上的任一连续函数，记)(xf在]0,1[上的平均值为A，求证：)0,1(，使Afdttfe])()([1．提示：令1'()[()()]xxFxeftdtfxA，构造1()()xxFxeftdtAx，用罗尔定理．（2）)(xf在],[ba或),(ba上可导，则数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(xf例1、设)(xf在1[,2]2连续，在1(,2)2上可导，且)2()(2121fdxxf，试证：)2,0(，使'()0f．提示：由积分中值定理知，1121(2)2()(),(,1)2ffxdxf，用罗尔定理．例2、设)(),(xgxf在],[ba连续，在],[ba上可导，且对于),(bax有0)(xg试证：),(ba，使)()()()()()(gbgaffgf．提示：令'()'()()()'()'()()()'()Fxfxgxfxgxfxgbfagx，构造函数()()()()()()()Fxfxgxfxgbfagx在],[ba上用罗尔Th．例3、设)(xf在],[ba上连续，在),(ba上可导求证：),(ba，使11[()()]()()nnnbanffAbafafb．提示：（1）令1'()()()nnFxnxfxxfx，构造)()(xfxxFn在],[ba上使用Lagrange（2）令1'()()()nnFxnxfxxfxA，构造()()nFxxfxAx在],[ba上使用罗尔．例4、设)(),(xgxf于10,连续，10,内可导，对),(bax恒有)()()()(xgxfxgxf，求证：若)(),(xgxf在),(ba内有两个零点，则介于其之间，)(xg至少有一个零点．提示：用反证法，假设0)()(21xfxf，且0)(xg，],[21xxx构造)()()(xgxfxF，则0)(F，与条件矛盾．例5、设)(xf在ba,上一阶可导，()0fa，'()0fa，证明：（1）存在),(ba，使0)(f；（2）存在),(ba，使'()()ff．提示：（1）由保序性，1,xaa，使得10fx，由零点定理知（1）．（2）注意到（1）及题设条件，知函数fx在,ab上存在两个零点,a，于是xFxefx在,ab上有两个零点，由Rolle定理，易证（2）．4题型三非积分不等式主要方法(1)构造函数)(xf，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.(2)利用函数的凹凸性.(3)利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值.(4)利用中值法证明不等式.例1、设)1,0(x，求证：(i)22)1(ln)1(xxx；(ii)211)1ln(112ln1xx．提示：(i)令()ln(1)1xfxxx或22()(1)ln(1)gxxxx(ii)令11()ln(1)hxxx，则22()'()0(1)ln(1)gxhxxxx，有(1)()(0)hhxh．例2、比较ee与的大小．提示：xe，比较xeex与的大小，取对数构造()lnfxxex，易证ee．例3、设)(),(xgxf二阶可导，当0x时，)()(xgxf，且)0()0(gf，)0()0(gf，求证：)()(0xgxfx时，．提示：令)()()(xgxfxF，需两次求导．例4、当0,0yx时，求证：2ln)(lnlnyxyxyyxx．提示：令)2(2)()(0)(,ln)(yxfyfxftftttf．例5、0,0,0yx，求证：11)()(yxyx．提示：其等价于11ln[1())]ln(1())yyxx，令1()ln(1)tfxat，0a．若1a，原命题成立，现证明()ft在0,1ta时单调递减22ln(1)ln(1)()'()(1)(1)ttttttaaaagtfttata，'()ln[lnln(1)]tttgtaaaa1a时，'()0gt，则()(0)0gtg；01a时，'()0gt，则()lim()0tgtgt．例6、设1,10px，求证：1)1(211pppxx.提示：令ppxxtf)1()(，求其在]1,0[的最值．例7、设)(xf在(1,1)内有0)(xf，且2sincos)(lim20xxxfx，求证：()1fx．证明：易知,1)0(f2200()cossincos1(0)limlim0sinxxfxxxfxxx令1)()(xfxF，求其最大值，因0)()(,0)0(,0)0(xfxFFF，则易证．例8、若xy0及1p，求证：)()(11yxpxyxyxpypppp．提示：令()pftt，在],[yx上对)(tf应用拉氏定理．例9、在],0[a上，()fxM，且)(xf在),0(a内取最大值，求证：Maaff)()0(．证明：设,0)],([max)(0acxfcfax则0)(cf在],[],,0[acc对)(xf分别应用拉氏定理，则易