6计算VaR的方法

第6章计算VaR的方法通过本章学习，要求理解计算VaR的的三种主要方法：方差协方差方法（如德尔塔—正态方法）、历史模拟方法、蒙特卡洛模拟方法。6.1VaR的计算思路计算VaR的关键在于确定资产组合未来损益的统计分布，计算过程由两部分构成：1.映射过程：建立组合价值与风险因子之间的函数关系。2.估值过程：根据风险因子的波动性或未来情景估计组合的未来价值分布（或未来损益分布）。估值模型包括局部估值法和完全估值法（1）局部估值法（解析方法）建立风险因子变化与组合价值变化间的函数关系，由风险因子回报的正态性假设以及风险因子的波动性和相关性预测推出组合的VaR。设P=f(y)，y为风险因子，当风险因子y从初始值y0变成新的值y1=y0+△y，计算组合价值P1=f(y1)200012yyfyyfPP线性模型（delta类模型）非线性模型（delta-gamma类模型）当有n个风险因子时组合价值变化可表示为)(211121jininjjiiniiyyyyPyP2002yyfyyfPyyfP0（2）完全估值法采用历史模拟法或蒙特卡洛模拟法模拟风险因子的未来不同情景，分别对组合中的各头寸进行重新定价，从而得到组合价值的未来分布（未来损益分布），并计算组合的VaR。计算风险值的主要方法局部估值法完全估值法参数方法方差协方差法蒙特卡洛模拟法非参数方法历史模拟法德尔塔-正态方法是一种常用的方差协方差法。delta-正态方法假定：①组合价值变化与风险因子变化间呈线性关系；②风险因子回报为联合正态分布。6.2德尔塔—正态方法设风险因子X1、X2、…、Xn，风险因子的回报服从均值为0的联合正态分布，风险因子回报的协方差矩阵为∑。组合价值变化用泰勒展开近似为nnnnnnnnnnXXXXXXXXXXXXXPXXXXPXXXXPXXPXXPXXPP22112211222211112211则组合价值变化ΔP的方差为组合价值变化是风险因子变化的线性组合，由于风险因子的变化服从正态分布，所以组合价值的变化也是正态分布，即△P～N(0,σp2)112niiniipXXpzVaR例：考虑一个由A和B两种股票构成的资产组合，其中A股票为n1=100股，每股价格S1=91.7美元，B股票为n2=120股，每股价格S1=79.1美元，根据历史交易数据估计，A和B两种股票日收益率的均值、标准差和相关系数如下：μ1=0.155%σ1=2.42%μ2=0.0338%σ2=1.68%ρ=0.14请用delta-正态方法完成以下计算：（1）在99%的置信水平下，组合中A股票的1天持有期绝对VaR和相对VaR。（2）在99%的置信水平下，组合中B股票的1天持有期绝对VaR和相对VaR。（3）在99%的置信水平下，资产组合的1天持有期绝对VaR和相对VaR。对于标准正态变量X：P（X≤-1.645）=5%，P（X≤-1.96）=2.5%，P（X≤-2.327）=1%方差协方差方法的优缺点优点：计算简单方便。根据中心极限定理，即使风险因子回报不是正态分布，但只要风险因子数量足够大和相互独立，仍然可以采用方差协方差方法。缺点：正态分布假设不能处理厚尾分布。需要估计风险因子的波动性及收益间的相关性。近似性。历史模拟法计算VaR的基本原理：用给定历史时期上所观测到的风险因子的变化来表示风险因子未来的变化，从而得到风险因子的未来n个数据，进而得到组合价值未来损益的n个可能结果，可以根据得到的未来损益分布，通过分位数计算VaR。6.3历史模拟法历史模拟法计算VaR的基本方法：（1）识别影响组合中各头寸价值的风险因子，收集风险因子的历史观测数据，并用风险因子表示出组合中各头寸的盯市价值。（2）计算风险因子的历史价格变化，并模拟风险因子的未来价格水平。•模拟情景1：假设所有市场变量的变化率等于历史上第1天市场变量的变化率•模拟情景2：假设所有市场变量的变化率等于历史上第2天市场变量的变化率•以此类推，总共得到n中模拟情景风险因子的历史观测值风险因子的价格变化v0v1v1/v0……vn-1vn-1/vn-2vnvn/vn-1第n+1期的风险因子价格vn+1=vn(vi/vi-1)(i=1,…,n)（3）利用定价公式，根据模拟出的风险因子的未来n种可能价格水平，求出组合的n种未来盯市价值，并与当前风险因子下的组合价值比较，得到组合价值的未来损益分布。（4）根据组合价值的未来损益分布，通过分位数计算VaR。假设我们采用过去501天的历史数据来计算一天持有期、99%置信水平下的VaR，则VaR的估计值是组合损失分布第99个百分比分位数所对应的损失（第5个最坏的损失）。(对每种情形设定相同的权重)VaR的精确度(page184)假设损失分布第q个分位数的估计值为x，则估计值x的标准差为f(x)为损失为x时，损失分布的密度函数值，f(x)可以通过用标准分布来匹配经验分布进行估计。例12-1（page184）n)q1(q)x(f1推广1:对观测值（模拟情景）设定权重设定相同权重：基本历史模拟法对过去n个观测值（n中模拟情景）设定相同的权重。设定不同权重：权重随回望期增加而呈指数速度递减。.n个变化情形的权重由近到远分别为将损失值由大到小进行排序,由最大损失开始计算累计权重，当累计权重等于指定分位数时，对应的损失值即为VaR。n1nn2nn11111111，，，，推广2:包括更新的波动率利用某市场变量第n+1天的波动率估计和第i天的波动率估计，对该市场变量第i天的变化量进行调整。某市场变量第i个情景值为1ii1n1ii1inv/)vv(vv推广3:统计自助法利用自助法对n种情景进行放回抽样，如可以产生1000组的n种情景，从而可以计算VaR的置信区间。极值理论(page188)极值理论可以用于描述变量X经验分布的的右尾特性。我们先在右尾找一个数值uGnedenko的研究结果表明，对用多种概率分布F(x)，随着u的增加，当Xu时，X的条件分布Fu(y)（y=x-u)趋向于广义Pareto分布。广义Pareto分布广义Pareto分布有两个参数：形状参数x和规模参数b，其累积分布函数为xbxbx/1,11yyG极大似然估计法(式12-4,page189)假设大于u的观测值个数为nu选择x和b使下式最大化un1i1/1i)ux(11lnxbxb尾部概率变量Xx的概率估计值为xbxbx/1,111uxnnuxGuFu令u=β/ξ,上式等价于幂率分布。利用极值理论估计VaR置信水平为q时，VaR估计值为1)q1(nnuuxxb历史模拟法计算VaR的优点不需要对风险因子的分布进行假定。只要数据充分，可以处理厚尾分布和其他极端情况。不需要估计风险因子的波动性和收益相关性。能够计算VaR的置信区间.历史模拟法计算VaR的缺点完全依赖于特定的历史数据。如果历史数据涉及的期间不够长，则可能使VaR计算不准确。如果资产组合含有比较复杂的证券，则计算起来比较麻烦。原理：建立风险因子的随机过程模型，反复模拟风险因子变量的随机过程，每次模拟都可以得到风险因子的一个未来变化情景，得到组合在持有期末的一个可能价值，如果进行大量的模拟，那么组合价值的模拟分布将收敛于组合的真实分布。6.4蒙特卡洛模拟法1）识别影响组合中各头寸价值的风险因子，并用风险因子表示出组合中各头寸的盯市价值。2）模拟风险因子的未来情景：选择反映风险因子变化的随机过程和分布；估计其中相应的参数；模拟风险因子的变化路径，建立风险因子未来的变化情景。蒙特卡洛模拟法的基本步骤①选择反映风险因子变化的随机过程和分布如对于股票价格，可选择几何布朗运动模型。ε～N（0，1），参数μt和σt代表t时刻的瞬间漂移和波动，它们随时间变化。dtSSdSttttt设当前时间为t，到期时间为T，持有期τ=T-t，将τ分为m个增量Δt，即，则在△t时间间隔上的估计为对于汇率，可采用对数正态模型σ为汇率的日波动性，t为风险持有期mttSSStttttttePP0②估计随机过程模型中相应的参数。估计相应的参数μt和σt，在简单情况下，可以假定为常量，也可以假定为变化的，用GARCH模型描述其动态性。③模拟风险因子的变化路径，建立风险因子未来的变化情景。采用几何布朗运动模型时，股票价格未来变化情景的建立：依次产生〔0，1〕均匀分布的m个随机变量xi(i=1，…，m)，随机数是由随机数产生程序生成的。设标准正态分布的分布函数为Ф(y)，令Ф(εi)=xi，则可以得到标准正态分布的随机变量序列εi(i=1,…,m)，根据股票价格的随机过程模型可依次得到St+iΔt(i=1,…,m)。St+mΔt（ST）为股票价格在持有期末的一个变化情景，重复该步骤，可得到股票价格的n个变化情景。采用对数正态模型时，汇率未来变化情景的建立：依次产生〔0，1〕均匀分布的n个随机变量xi(i=1，…，n)，设标准正态分布的分布函数为Ф(y)，令Ф(εi)=xi，则可以得到标准正态分布的随机变量序列εi(i=1,…,n)，根据汇率的随机过程模型可得到持有期末汇率变动的n个情景。3）对持有期末风险因子的每个情景，利用精确的定价公式或其它方法计算组合的价值及其损益。4）根据组合价值损益分布的模拟结果，计算出特定置信水平下的VaR。蒙特卡洛模拟法计算VaR的优缺点优点：能够用于风险因子的各种分布。能有用于任何复杂的资产组合。允许计算VaR的置信区间。缺点：有些意外情况会未被考虑。计算过程复杂，极端依赖于计算机。作业题：1.计算风险值的主要方法。2.delta-正态方法计算VaR的基本假定和优缺点。3.历史模拟法计算VaR的基本原理和主要优缺点。4.蒙特卡洛方法计算VaR的基本原理和主要优缺点。5.练习题：9.2312.113.113.16