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2019年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.(5分)已知集合{|02}Axx„,{0B,1,2},则(AB)A.{0}B.{|02}xx剟C.{1,2}D.{0,1,2}2.(5分)已知i是虚数单位,复数(1)()iai是实数,则实数(a)A.0B.2C.1D.13.(5分)广东省的学业水平测试成绩是分等级来表示的,考试分为四个成绩等级;24分及以下不给等级,25~49分为D,5069分为C,7084分为B,85100分为A.培恩中学高二学生参加2018年6月份学业水平测试的成绩全部在D级(含D级)以上,该校共有500名学生参加了考试,学生成绩等级统计如图所示,该校学业水平测试成绩评价等级为A的学生人数是()A.205B.185C.85D.254.(5分)已知椭圆22222(0)xyabab与双曲线22221xyab的焦点相同,则双曲线的离心率为()A.3B.2C.33D.2335.(5分)已知a,b是两条不重合的直线,,是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是()A.//ab,//b,则//aB.a,b,//,则//abC.//ab,a,则bD.当a,且b时,若//b,则//ab6.(5分)在ABCD中,E为AC上一点,且3ACAE,记ADa,ABb,则(BE)A.2133abB.1233abC.4133abD.4133ab7.(5分)将函数()cos()6gxx的图象向左平移6个单位长度,得到()yfx的图象,则下列说法错误的是()A.()fx的一个周期为2B.()yfx的图象关于直线3x对称C.()fx的一个零点为6xD.()fx在(2,)单调递减8.(5分)函数log(4)2(0ayxa且1)a的图象恒过点A,且点A在角的终边上,则sin2()A.513B.1213C.1213D.9139.(5分)用一段长为8cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为()A.29cmB.216cmC.24cmD.25cm10.(5分)函数()sin2sinfxxx在[,],的图象大致是()A.B.C.D.11.(5分)在长方体1111ABCDABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,1DB与DC所成的角是60,则长方体的外接球表面积是()A.16B.8C.4D.4212.(5分)已知函数,0(),0xexfxlnxx„,()()gxfxax,若函数()ygx有两个零点,则a的取值范围是()A.(,0)(0,)eB.(,0)(0,1)eC.21(e,)D.1(,)e二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡的相应位置)13.(5分)已知函数2()()xfxxa是奇函数,则实数a的值为.14.(5分)已知x,y满足约束条件020xyxyy…„…,若2zxy的最大值为.15.(5分)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断某路边树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与地面成75角,折断部分与地面成45角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是米(结果保留根号)16.(5分)已知点(0,0)O,(2,2)A,点M是圆22(3)(1)2xy上的动点,则OAM面积的最大值为.三、解答题:(本大題共5小题,共70分其中17至21题为必考题,22、23題为选考题解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(一)必考部分:共60分17.(12分)已知数列{}na满足11a,1(*)12nnnaanNa.(Ⅰ)求2a,3a,4a的值;(Ⅱ)证明数列1{}na为等差数列;(Ⅲ)设1nnnaað,求数列{}nð的前n项和nS.18.(12分)如图(1)所示,AD是ABC的边BC上的高,E,F分别是DC,AC的中点,6ADDC,4BD,分别将ABD和CEF沿着线段AD和EF折起,使得B,C两点重合为点S,得到几何体ADSEF,如图(2)所示.(Ⅰ)求证:平面ADEF平面SDE;(Ⅱ)求几何体ADSEF的体积.19.(12分)2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛,某赛区收到100件参赛作品,为了解作品质量,现从这些作品中随机抽取10件作品进行试评.若这10件作品的成绩如下:65,82,78,86,96,81,73,84,76,59.(Ⅰ)请绘制以上数据的茎叶图;(Ⅱ)求该样本的中位数和方差;(Ⅲ)在该样本中,从成绩在平均分以上(含平均分)的作品中随机抽取两件作品,求成绩为82分的作品被抽到的概率.20.(12分)设抛物线2:2(08)Cxpyp的焦点为F,点P是C上一点,且PF的中点坐标为5(2,)2(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;(Ⅱ)动直线l过点(0,2)A,且与抛物线C交于M,N两点,点Q与点M关于y轴对称(点Q与点N不重合),求证:直线QN恒过定点.21.(12分)已知函数1()()xaefxaRx在2x处的切线斜率为号2e.(Ⅰ)求实数a的值,并讨论函数()fx的单调性;(Ⅱ)若()()xgxelnxfx,证明:()1gx.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xoy,已知椭圆的方程为:2212012xy,动点P在椭圆上,O为原点,线段OP的中点为Q.(Ⅰ)以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求点Q的轨迹的极坐标方程;(Ⅱ)设直线l的参数方程为1232xtyt,(t为参数),l与点Q的轨迹交于M、N两点,求弦长||MN.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数()|21|||(0)fxxxaa.(Ⅰ)当1a时,求不等式()1fx…的解集;(Ⅱ)若不等式()2fx在R上恒成立,求实数a的取值范围.2019年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)【解答】解:集合{|02}Axx„,A包含的整数有1,2,{0B,1,2},{1AB,2}.故选:C.【解答】解:(1)()(1)(1)iaiaai是实数,10a,即1a.故选:C.【解答】解:由扇形统计图得:评价等级为A的人数是:50041%205人.故选:A.【解答】解:设双曲线的焦距为2c,依题意222222abab,即223ab,又222bca,2223()aca,即2243ca,双曲线的离心率为233cea.故选:D.【解答】解:在A中,有可能a,也可能a,故A错;在B中,直线a,b可能平行,也可能异面,故B错;在C中,//ab,a,则由线面垂直的性质定理得b,故C正确;在D中,直线a,b也可能异面,故D错.故选:C.【解答】解:如图,3,,ACAEADaABb;1,3AEACACab;112()333BEAEABabbab.故选:B.【解答】解:依题设得()cos()3fxx,所以①函数的周期为2T,故:A正确,②对于B,当3x时,函数的值为1,故:B正确.③对于C当6x时,函数()cos()062f,故:C正确.故选:D.【解答】解:对于函数log(4)2(0ayxa且1)a,令41x,求得2x,2y,可得它的图象恒过(3,2)A,则23sin,cos1313,则12sin22sincos13,故选:B.【解答】解:设矩形模型的长和宽分别为x,y,则0x,0y,由题意可得2()8xy,所以4xy,所以矩形菜园的面积22()4444xySxy„,当且仅当2xy时取等号,所以当矩形菜园的长和宽都为2cm时,面积最大,为24cm.故选:C.【解答】解:显然()fx是奇函数,图象关于原点对称,排除D;在区间(0,)2上,sin20x,sin0x,即()0fx,排除B和C;故选:A.【解答】解:如图,在长方体1111ABCDABCD中,//DCAB,相交直线1DB与AB所成的角是异面直线1DB与DC所成的角.连接1AD,由AB平面11ADDA,得1ABAD.在1RtABD中,1ABD就是1DB与DC所成的角,即160ABD,又2AB,1cos60ABBD,所以,14cos60ABBD,设长方体1111ABCDABCD外接球半径为R,则由长方体的对角线就是长方体外接球直径得221416RDB,则2R,长方体外接球表面积是2416R.故选:A.【解答】解:()gx有两个零点,即方程()0fxax有两个不等的实根.也就是函数()yfx与yax有两个交点,如图,作出()yfx的图象,而yax是过原点的直线,①当0a时,求出yax与ylnx相切时的斜率1ae,数形结合,当且仅当10ae时,yax与()yfx有两个交点.②当0a时,yax与()yfx恒有两个交点.③当0a时,yax与()yfx只有一个交点.综上得a的取值范围是(,0)(0,1)e.故选:B.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡的相应位置)【解答】解:()fx是奇函数,所以()()fxfx,即22()()xxxaxa,则22()()axax,即222222aaxxaaxx,得22axax,即40ax,则40a,解得0a.故答案为:0【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).由2zxy得2yxz,平移直线2yxz,由图象可知当直线2yxz经过点B时,直线2yxz的截距最大,此时z最大.由20xyy,解得20xy,即(2,0)B,代入目标函数2zxy得2204z.即目标函数2zxy的最大值为4.故答案为:4.【解答】解:设树根部为O,折断处为A,树梢为B,则75AOB,45ABO,所以60OAB.10OB.由正弦定理知,10sin45sin75sin60AOAB,所以1063OA(米),152563AB(米),5256OAAB(米).答案:5256.【解答】解:如图,由题设,得圆心(3,1)C,半径2r,222222OA,直线OA的方程为0xy,则OAM边OA上的高h就是点M到直线OA的距离,圆心(3,1)C到直线OA的距离为|31|222d,可得圆22(3)(1)2xy上的点M到直线OA的距离的最大值为32maxhdr,故OAM面积的最大值112232622maxSOAh.故答案为:6三、解答题:(本大題共5小题,共70分其中17至21题为必考题,22、23題为选考题解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(一)必考部分:共60分【解答】解:(Ⅰ)由11a,112nnnaaa,得1211112123aaa,232113212513aaa,343115212715aaa,即2a,3a,4a的值分别为111,,357;(Ⅱ)(法一)证明:由112nnnaaa得112112nnnnaaaa,1112nnaa,又11a,111a,数列1na是首项为111a,公差为2的等差数列.(Ⅱ)
本文标题:2019年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)
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