2016年初等数论第一次作业

初等数论第一次作业简答题1.叙述整数a被整数b整除的概念。2.给出两个整数a，b的最大公因数的概念。3.叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。4.叙述合数的概念，并判断14是否为合数。5.不定方程cbyax有整数解的充分必要条件是什么？6.列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。7.写出一组勾股数。8.写出两条同余的基本性质。9.196是否是3的倍数，为什么？10.696是否是9的倍数，为什么？11.叙述孙子定理的内容。12.叙述算术基本定理的内容。13.给出模6的一个完全剩余系。14.给出模8的一个简化剩余系。15.写出一次同余式)(modmbax有解得充要条件。答：1.设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。2.设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。3.一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。14的所有质数为2,3,5,7,11,134.一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。5.不定方程cbyax有整数解的充分必要条件是。6.没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。7.一组勾股数为3,4,5。8.同余的基本性质为：性质1m为正整数，a，b，c为任意整数，则①a≡a（modm）；②若a≡b（modm），则b≡a（modm）；③若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）。性质3①若（modm），（modm），则（modm）②若a＋b≡c（modm），则a≡c－b（modm）。9.196不是3的倍数。因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。所以a=196，b=3，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以196不是3的倍数。10.696不是9的倍数。因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。所以a=696，b=9，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以696不是9的倍数。11.孙子定理的内容为：设是k个两两互质的正整数,(1)设,则同余式组(1)的解是(2)其中是满足的任一个整数，i＝1,2,…,k。12.任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数，（1）其中是质数，并且若，,其中是质数，则m＝n，，i＝1，2，…，n。13.模6的一个完全剩余系为1，2，3，4，5，6。14.由于8的标准分解式为8=23，所以所以模8的一个简化剩余系由4个数构成，这两个数都与8互质，并且它们关于模8不同余。比如1,7就是模8的一个简化剩余系。15.一次同余式)(modmbax有解的充要条件是(a,m)|b。