2014年高考数学二轮精品专练试卷等差数列等比数列理(含2013试题)

1等差数列、等比数列一、选择题1．(2013·江西高考)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】A2．(2013·安徽高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2【解析】借助等差数列前n项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到a9的值．由等差数列性质及前n项和公式，得S8＝a1＋a82＝4(a3＋a6)＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以公差d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.【答案】A3．(2013·济南模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2013，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2013的值等于()A．－2012B．－2013C．2012D．2013【解析】S12＝12a1＋12×112d，S10＝10a1＋10×92d，所以S1212＝12a1＋12×112d12＝a1＋112d，S1010＝a1＋92d，所以S1212－S1010＝d＝2，所以S2013＝2013a1＋2013×20122d＝2013(－2013＋2012)＝－2013.【答案】B4．(2013·潍坊模拟)已知an＝13n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状，2图7－3－3记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(10,12)＝()A.1393B.1392C.1394D.13112【解析】前9行共有1＋3＋5＋…＋17＝＋2＝81项，所以A(10,12)为数列中的第81＋12＝93项，所以a93＝1393，选A.【答案】A5．(2013·福建高考)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm【解析】计算出bn，cn，并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型．bn＝a1qm(n－1)＋a1qm(n－1)＋1＋…＋a1qm(n－1)＋m－1＝a1qm(n－1)(1＋q＋…＋qm－1)＝a1qm(n－1)·1－qm1－q，∴bn＋1bn＝a1qnm·1－qm1－qa1qmn－·1－qm1－q＝qm，∴{bn}是等比数列，公比为qm.cn＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1∴{cn}是等比数列，公比为qm2.【答案】C3二、填空题6．(2013·辽宁高考)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.【解析】因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝1－261－2＝63.【答案】637．(2013·西城模拟)我们把满足an＋an－1＝k(n≥2，k是常数)的数列叫做等和数列，常数k叫做数列的公和．若等和数列{an}的首项为1，公和为3，则该数列前2014项的和为S2014＝________.【解析】由题意知an＝1，n为奇数，2，n为偶数，则S2014＝1007×1＋1007×2＝3021.【答案】30218．(2013·烟台模拟)数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝an＋1an，若b10b11＝2，则a21＝________.【解析】因为b10b11＝2，所以b1b2·…·b20＝(b10b11)10＝210.又bn＝an＋1an，所以b1b2·…·b20＝a2a1·a3a2·a4a3·…·a21a20＝a21a1，即a21a1＝210，所以a21＝210＝1024.【答案】1024三、解答题9．(2013·陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．【解】(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a1－qn1－q，∴Sn＝na1，q＝1，a1－qn1－q，q≠1.(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，4(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．10．(2013·湛江模拟)设数列{an}是公差大于零的等差数列，已知a1＝2，a3＝a22－10.(1)求数列{an}的通项公式．(2)设数列{bn}是以函数y＝4sin2πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an－bn}的前n项和Sn.【解】(1)设数列{an}的公差为d，则a1＝2，a1＋2d＝a1＋d2－10，解得d＝2或d＝－4(舍)，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)因为y＝4sin2πx＝4×1－cos2πx2＝－2cos2πx＋2，其最小正周期为2π2π＝1，故首项为1，因为公比为3，从而bn＝3n－1，所以an－bn＝2n－3n－1，故Sn＝(2－30)＋(4－31)＋…＋(2n－3n－1)＝＋2nn2－1－3n1－3＝n2＋n＋12－3n2.11．(2013·青岛模拟)已知n∈N*，数列{dn}满足dn＝3＋－n2，数列{an}满足an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；又知数列{bn}中，b1＝2，且对任意正整数m，n，bmn＝bnm.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式．(2)将数列{bn}中的第a1项，第a2项，第a3项，…，第an项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前2013项和．【解】(1)∵dn＝3＋－n2，∴an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝3×2n2＝3n.又由题知：令m＝1，则b2＝b21＝22，b3＝b31＝23，…bn＝bn1＝2n，若bn＝2n，则bmn＝2nm，bnm＝2mn，所以bmn＝bnm恒成立；5若bn≠2n，当m＝1时，bmn＝bnm不成立，所以bn＝2n.(2)由题知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9项、…第3n项删去后构成的新数列{cn}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4，公比均是8.T2013＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2013)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2012)＝－810071－8＋－810061－8＝20×81006－67.