2014年高考数学总复习教案第三章三角函数三角恒等变换及解三角形第2课时同角三角函数的基本关系式

一折网作文录第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)42～43页)考情分析考点新知①会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.②能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．①理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.②理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，π2±α].1.(必修4P16例1改编)α是第二象限角，tanα＝－815，则sinα＝________．答案：817解析：由sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝－815，解得sinα＝±817.∵α为第二象限角，∴sinα0，∴sinα＝817.2.cos－523π＝________．答案：－12解析：cos－52π3＝cos52π3＝cos(17π＋π3)＝－cosπ3＝－12.3.sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．答案：2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.4.(必修4P21例题4改编)已知cos5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cosπ12－α＝________．答案：－223解析：cosπ12－α＝cos[π2－5π12＋α]＝sin5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜一折网作文录－π12.所以sin512π＋α＝－223，所以cosπ12－α＝－223.5.(必修4P22习题9(1)改编)已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cos()π－θsinπ2＋θ－sin（π－θ）＝__________．答案：－2解析：sinπ2＋θ－cos（π－θ）sinπ2＋θ－sin（π－θ）＝cosθ－（－cosθ）cosθ－sinθ＝2cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝21－2＝－2.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.2.诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosa余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．[备课札记]一折网作文录题型1同角三角函数的基本关系式例1(必修4P23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)将1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．解：(1)(解法1)联立方程sinα＋cosα＝15①，sin2α＋cos2α＝1②，由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理，得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.(解法2)∵sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝152，即1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∵sinαcosα＝－12250且0απ，∴sinα0，cosα0.∵sinα－cosα0，∴sinα－cosα＝75.由sinα＋cosα＝15，sinα－cosα＝75，得sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α.∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432＝－257.一折网作文录变式训练已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π)．(1)求sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时θ的值．解：(1)由韦达定理可知sinθ＋cosθ＝3＋12①，sinθ·cosθ＝m2②，而sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sinθ＋cosθ＝3＋12.(2)由①两边平方得1＋2sinθcosθ＝2＋32，将②代入得m＝32.(3)当m＝32时，原方程变为2x2－(1＋3)x＋32＝0，解得x1＝32，x2＝12，∴sinθ＝32cosθ＝12或sinθ＝12，cosθ＝32.∵θ∈(0，2π)，∴θ＝π6或π3.例2(必修4P23第10(2)题改编)化简：(1＋sinα1－sinα－1－sinα1＋sinα)·(1＋cosα1－cosα－1－cosα1＋cosα)．解：原式＝(（1＋sinα）2cos2α－（1－sinα）2cos2α)(（1＋cosα）2sin2α－（1－cosα）2sin2α)＝(1＋sinα|cosα|－1－sinα|cosα|)(1＋cosα|sinα|－1－cosα|sinα|)＝2sinα|cosα|·2cosα|sinα|＝4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时.备选变式（教师专享）已知sinα·cosα0，sinαtanα0，化简：cosα2·1－sinα21＋sinα2＋sinα2·1＋cosα21－cosα2＝________．答案：±2sinα2＋π4解析：∵sinα·cosα0，∴α为第二或第四象限角．一折网作文录又∵sinα·tanα0，∴α为第四象限角，∴α2为第二或四象限角．∴原式＝cosα2·1－sinα2cosα2＋sinα2·1＋cosα2sinα2＝sinα2＋cosα2α2为第二象限角，－sinα2－cosα2α2为第四象限角，∴原式＝±2sinα2＋π4.题型2利用诱导公式进行化简求值例3已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin（π－α）＋5cos（2π－α）2sin3π2－α－sin（－α）的值．解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴sinα＝－2cosα，且cosα≠0.∴原式＝sinα＋5cosα－2cosα＋sinα＝－2cosα＋5cosα－2cosα－2cosα＝3cosα－4cosα＝－34.备选变式（教师专享）已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）sin（π－α）·cos（α＋2nπ）(n∈Z)．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cosα＝－12，cosα＝12.又角α在第四象限，∴sinα＝－1－cos2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝32.(2)sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）sin（π－α）cos（α＋2nπ）＝sin（α＋2nπ＋π）－sinαsinαcosα＝sin（π＋α）－sinαsinαcosα＝－2sinαsinαcosα＝－2cosα＝－4.一折网作文录1.(2013·广东文)已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝________．答案：15解析：sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝15.2.已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)＝________．答案：－12解析：由条件，知π＝a1＋a5＋a9＝3a5，∴a5＝π3，∴cos(a2＋a8)＝cos2a5＝cos2π3＝－12.3.已知sinα＝13，且α∈π2，π，则tanα＝________．答案：－24解析：因为sinα＝13，α∈π2，π，所以cosα＝－1－19＝－223，从而tanα＝－24.4.已知2tanα·sinα＝3，－π2＜α＜0，则cos(α－π6)＝____________．答案：0解析：依题意得2sin2αcosα＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝12或cosα＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cosα－π6＝cos－π3－π6＝cosπ2＝0.1.已知0xπ，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求tanx的值．解：(1)∵sinx＋cosx＝15，∴1＋2sinxcosx＝125，一折网作文录∴2sinxcosx＝－2425，又∵0xπ，∴sinx0，2sinxcosx＝－24250，∴cosx0，∴sinx－cosx0，∴sinx－cosx＝1－2sinxcosx＝75.(2)sinx＋cosxsinx－cosx＝17，tanx＋1tanx－1＝17，tanx＝－43.2.已知3cos2(π＋x)＋5cosπ2－x＝1，求6sinx＋4tan2x－3cos2(π－x)的值．解：由已知得3cos2x＋5sinx＝1，即3sin2x－5sinx－2＝0，解得sinx＝－13或sinx＝2(舍去)．这时cos2x＝1－－132＝89，tan2x＝sin2xcos2x＝18，故6sinx＋4tan2x－3cos2(π－x)＝6×－13＋4×18－3×89＝－256.3.已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15.(1)求sinA·cosA；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．解：(1)因为sinA＋cosA＝15①，两边平方得1＋2sinAcosA＝125，所以sinA·cosA＝－1225.(2)由(1)sinAcosA＝－12250，且0Aπ，可知cosA0，所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(3)(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋2425＝4925.又sinA0，cosA0，sinA－cosA0，所以sinA－cosA＝75②，所以由①，②可得sinA＝45，cosA＝－35，则tanA＝sinAcosA＝45－35＝－43.4.已知sin(3π＋θ)＝13，求cos（π＋θ）cosθ[cos（π－θ）－1]＋cos（θ－2π）sinθ－3π2cos（θ－π）－sin3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sinθ＝13，所以sinθ＝－13.一折网作文录原式＝－cosθcosθ（－cosθ－1）＋cos（2π－θ）－sin3π2－θcos（π－θ）＋cosθ＝11＋cosθ＋cosθ－cos2θ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝2－132＝18.1.利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2.应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α(k∈Z)，0≤α＜2π；②转化为锐角．3.在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化32π＋α为π＋π2＋α或2π－π2－α.请使用课时训练（A）第2课时（见活页）.[备课札记]