2014文数高考真题函数与导数试卷三

函数与导数(三)一、选择题1．[2014·天津卷]设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a2．[2014·江西卷]已知函数f(x)＝a·2x，x≥0，2－x，x0(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a＝()A.14B.12C．1D．23．[2014·汕头期末]设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋x，则f(－1)＝()A．－2B．0C．2D．－14．[2014·株洲模拟]设函数f(x)＝（a－2）x，x≥2，12x－1，x2是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)B.－∞，138C．(0，2)D.138，25．[2014·内江模拟]已知函数f(x)＝13x3－12x2＋cx＋d有极值，则实数c的取值范围为()A．c14B．c≤14C．c≥14D．c146．[2014·广州联考]设函数f(x)＝xα＋1(α∈Q)的定义域为[－b，－a]∪[a，b]，其中0＜a＜b，且f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值的和是()A．－5B．9C．－5或9D．以上都不对7．[2014·常德期末]已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)f(x)．若x1x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()A．ex1f(x2)ex2f(x1)B．ex1f(x2)ex2f(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定8．[2014·山东卷]对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是()A．f(x)＝xB．f(x)＝x2C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)9．[2014·湖南卷]若0＜x1＜x2＜1，则()A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1B．ex2－ex1＜lnx2－lnx1C．x2ex1＞x1ex2D．x2ex1＜x1ex210．[2014·江西卷]在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图像不可能是()ABCD11．[2014·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是()．A－3.B．－2C．－1D．012．、[2014·辽宁卷]当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B.－6，－98C．[－6，－2]D．[－4，－3]二、填空题13．、[2014·广东卷]等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．14．[2014·全国卷]函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．15．[2014·江苏卷]已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是________．16[2014·四川卷]以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋xx2＋1(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)三、解答题17．[2014·重庆卷]已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．18．[2014·浙江卷]已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．若f(x)在[－1，1]上的最小值记为g(a)．(1)求g(a)；(2)证明：当x∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.19．[2014·全国新课标卷Ⅰ]设函数f(x)＝alnx＋1－a2x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜aa－1，求a的取值范围．20．、[2014·安徽卷]设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．21．、[2014·辽宁卷]已知函数f(x)＝π(x－cosx)－2sinx－2，g(x)＝(x－π)1－sinx1＋sinx＋2xπ－1.证明：(1)存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈π2，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1＞π.函数与导数(三)答案二、选择题1．C[解析]∵a＝log2π1，b＝log12π0，c＝1π21，∴bca.2．A[解析]因为f(－1)＝21＝2，f(2)＝a·22＝4a＝1，所以a＝14.3．A[解析]因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.4．B[解析]依题意可得a－20，122－1≥2（a－2），解得a≤138.5．A[解析]由题意知，f′(x)＝x2－x＋c.∵函数f(x)有极值，∴Δ＝1－4c0，解得c14.6．C[解析]设h(x)＝f(x)－1＝xα，则由题意可知，h(x)为奇函数或偶函数．当h(x)为奇函数时，由f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值分别是－2和－5，从而f(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值分别是－1和－4，其和为－5；当h(x)为偶函数时，由f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值分别是5和2，从而f(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值分别是6和3，其和为9.故选C.7．A[解析]因为f′(x)f(x)，所以f′(x)－f(x)0.故可构造函数F(x)＝f（x）ex，则F′(x)＝f′（x）·ex－f（x）·ex（ex）2＝f′（x）－f（x）ex0，即函数F(x)在R上单调递增．又因为x1＜x2，所以F(x1)F(x2)，即f（x1）ex1f（x2）ex2，故ex2f(x1)ex1f(x2)．8．D[解析]因为f(x)＝f(2a－x)，所以函数f(x)的图像关于x＝a对称．A选项中，函数f(x)＝x没有对称性；B选项中，函数f(x)＝x2关于y轴对称，与a≠0矛盾；C选项中，函数f(x)＝tanx也没有对称性；D选项中，函数f(x)＝cos(x＋1)的图像是由函数g(x)＝cosx的图像向左平移一个单位后得到的，又函数g(x)＝cosx的图像关于x＝kπ(k∈Z)对称，所以函数f(x)＝cos(x＋1)的图像关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．故选D.9．C[解析]依题可构造函数f(x)＝exx，则f′(x)＝ex·x－exx2＝ex（x－1）x2.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)＝exx在区间(0，1)上递减，故0＜x1＜x2＜1时有f(x1)＞f(x2)，即x2ex1＞x1ex2.10．B[解析]当a＝0时，为D选项．当a≠0时，抛物线的对称轴为直线x＝12a，另一个函数的导数y′＝3a2x2－4ax＋1，令y′＝0，解得该函数的两个极值点分别为x1＝1a，x2＝13a，12a一直介于1a和13a之间，排除法知选B.11．－3[解析]易知y′＝2ax－bx2.根据题意有－5＝4a＋b2，4a－b4＝－72，解得a＝－1，b＝－2，故a＋b＝－3.12．C[解析]当－2≤x0时，不等式可转化为a≤x2－4x－3x3，令f(x)＝x2－4x－3x3(－2≤x0)，则f′(x)＝－x2＋8x＋9x4＝－（x－9）（x＋1）x4，故函数f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤fmin(x)＝f(－1)＝1＋4－3－1＝－2.当x＝0时，不等式恒成立．当0x≤1时，a≥x2－4x－3x3，令g(x)＝x2－4x－3x3(0x≤1)，则g′(x)＝－x2＋8x＋9x4，故函数g(x)在(0，1]上单调递增，此时有a≥gmax(x)＝g(1)＝1－4－31＝－6.综上，－6≤a≤－2.二、填空题13．5[解析]在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a23＝4.因为an0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a53＝25，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.14.32[解析]因为y＝cos2x＋2sinx＝1－2sinx2＋2sinx＝－2sinx－122＋32，所以当sinx＝12时函数y＝cos2x＋2sinx取得最大值，最大值为3215.－22，0[解析]因为f(x)＝x2＋mx－1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需f（m）＜0，f（m＋1）＜0，解得－22＜m＜22，－32＜m＜0，即m∈－22，0.16．①③④[解析]若f(x)∈A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得函数f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故②错误．当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(x)＋f(a0)＝b0－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．对于f(x)＝aln(x＋2)＋xx2＋1(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝xx2＋1(x＞－2)．易知f(x)∈－12，12，所以存在正数M＝12，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确三、计算题17．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.18．解：(1)因为a0，－1≤x≤1，所以，(i)当0a1时，若x∈[－1，a]，则f(x)＝x3－3x＋3a，f′