2014高中数学3-1-2用二分法求方程的近似解能力强化提升新人教A版必修1

1【成才之路】2014高中数学3-1-2用二分法求方程的近似解能力强化提升新人教A版必修1一、选择题1．如下四个函数的图象，适合用二分法求零点的是()[答案]D[解析]选项A，B不符合在零点两边函数值符号相异，不适宜用二分法求解；选项C中，零点左侧没有函数值，无法确定初始区间，只有D中的零点满足图象连续不断且符号相异，能用二分法．故选D.2．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝a＋b2，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0()A．在区间(a，c)内B．在区间(c，b)内C．在区间(a，c)或(c，d)内D．等于a＋b2[答案]D3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：x123456f(x)12.0413.89－7.6710.89－34.76－44.67则函数y＝f(x)存在零点的区间有()A．区间[1,2]和[2,3]B．区间[2,3]和[3,4]C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6][答案]C4．f(x)＝x4－15，下列结论中正确的有()2①f(x)＝0在(1,2)内有一实根；②f(x)＝0在(－2，－1)内有一实根；③没有大于2的零点；④f(x)＝0没有小于－2的根；⑤f(x)＝0有四个实根．A．2个B．3个C．4个D．5个[答案]C5．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分()次后，所得近似值的精确度可达到0.1()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.06250.1，符合题意，故选D.6．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝a＋b2与真实零点的误差最大不超过()A.ε4B.ε2C．εD．2ε[答案]B[解析]真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－a＋b2＝a＋b2－a＝b－a2＝ε2，因此误差最大不超过ε2.7．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－12)[答案]A[解析]f(x)＝4x－1的零点为14，f(x)＝(x－1)2的零点为1，f(x)＝ex－1的零点为0，f(x)＝ln(x－12)的零点为32.现在我们来估算g(x)＝4x＋2x－2的零点x0，因为g(0)＝－1，g(12)＝1，所以g(x)的零点，x0∈(0，12)．又函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f(x)＝4x－1的零点适合．38．某农贸市场出售的西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下两表：市场供给表单价(元/kg)22.42.83.23.64供给量(1000kg)506070758090单价(元/kg)43.42.92.62.32需求量(1000kg)506065707580据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间()A．(2,3,2.6)B．(2,4,2.6)C．(2,6,2.8)D．(2,4,2.8)[答案]C[解析]供给量为70时单价为2.8元/kg，需求量为70时，单价为2.6元/kg，从市场供给表和需求表观察，市场供需平衡点应在区间(2.6,2.8)．故选C.二、填空题9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.46025)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似的正数根(精确度0.1)为________．[答案]1.4375(或1.375)[解析]由于精确度是0.1，而|1.4375－1.375|＝0.06250.1，故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解．10．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－60，f(4)＝60，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.[答案]－2.25[解析]由(1,4)的中点为2.5，得f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，4那么下一个有根区间是______________．[答案](2,2.5)[解析]∵f(2)0，f(2.5)0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．12．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.75)0，f(0.6875)0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．[答案]0.75(答案不唯一)[解析]因为|0.75－0.6875|＝0.06250.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．三、解答题13．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，求区间(0,0.1)等分的至少次数．[解析]依题意0.12n＜0.01，得2n＞10.故n的最小值为4.14．求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内．[解析]证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是连续的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．15．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．[解析]设f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－30，f(1)＝20，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有实数根．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有实数根．如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)f(a＋b2)(0,1)0.5f(0)0f(1)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)0f(0.75)0f(0.6875)0因为|0.6875－0.75|＝0.06250.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的近5似解可取为0.75.16．方程x5＋x－3＝0有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解(精确到0.1)．[解析]考查函数f(x)＝x5＋x－3，∵f(1)＝－10，f(2)＝310，∴函数f(x)＝x5＋x－3在区间(1,2)有一个零点x0.∵函数f(x)＝x5＋x－3在(－∞，＋∞)上是增函数(证明略)，∴方程x5＋x－3＝0在区间(1,2)内有唯一的实数解．取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈6.090，∴x0∈(1,1.5)．同理，可得x0∈(1,1.25)，x0∈(1.125,1.25)，x0∈(1.125，1.1875)，x0∈(1.125,1.15625)，x0∈(1.125,1.140625)．由于|1.140625－1.125|0.1，此时区间(1.125，1.140625)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1.