2.4-矩阵的初等变换

2.3矩阵的分块第2章矩阵2.1矩阵的概念2.2矩阵的运算2.4矩阵的初等变换2.5矩阵的秩内容小结2.4.1初等行变换与初等列变换2.4矩阵的初等变换2.4.2等价矩阵2.4.3初等矩阵2.4.4求逆矩阵的初等变换法2.4.5分块初等变换矩阵的初等变换3/442.4.1初等行变换和初等列变换对方程组做初等变换时,只是对系数和常数项进行了运算,未知量实质上没有参与运算.这等同于对增广矩阵的行做相应的变换.由方程组的三种初等变换可得矩阵的三种初等变换.矩阵的初等变换4/44定义2.8下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(1)对调:互换第i行与第j行的位置,记为rirj,(2)倍乘:以数k0乘第i行,记为kri,(3)倍加:将第j行的k倍加到第i行,记为rikrj.相应地,可以定义三种初等列变换:cicj,kci,cikcj.矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换.rowcolumn矩阵的初等变换5/44初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同:ijrrjkr逆变换;ijrr逆变换1;jrkijrkr逆变换ijrkr.矩阵的初等变换6/44例2.14解线性方程组12412341234123423,24224,36435,242.xxxxxxxxxxxxxxx解先对方程组的增广矩阵做初等行变换:矩阵的初等变换7/4412013242243643512142A2131412312013002020040400135rrrrrr3242212rrrr矩阵的初等变换8/44341201300202,0003600000rrB324221212013002020000000036rrrr消元过程结束,B对应的是阶梯方程组,方程组有解.矩阵的初等变换9/4412013002020003600000B313131200500101,0001200000rrrC21212013001010003600000r再对矩阵B继续做初等行变换:矩阵的初等变换10/44123425,1,2,xxxx选x2为自由未知量,从而12223425,,1,2,xxxxxx回代过程结束,它对应的方程组为矩阵的初等变换11/44令x2k,k为任意数,123425100102xxkxx.得方程组的通解矩阵的初等变换12/4412013002020003600000B例2.14中B对应着阶梯方程组,称为阶梯矩阵.阶梯矩阵是指满足如下两个条件的矩阵:(1)零行位于所有非零行的下方;(2)非零行中第一个非零元的列标随着行标的增大而严格增大.矩阵的初等变换13/44例2.14中阶梯矩阵C具有如下特点:(1)非零行的第一个非零元为1;(2)第一个非零元所在列的其余元素全为0,称这样的阶梯矩阵为最简阶梯矩阵.定理2.1任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为阶梯矩阵或最简阶梯矩阵.12005001010001200000C矩阵的初等变换14/44例2.15解齐次线性方程组12341234123412240,330,230,5330.xxxxxxxxxxxxxxxx解对系数矩阵做初等行变换化为最简阶梯矩阵:矩阵的初等变换15/441111311321135331A232(1)1111011102260226rrr2131413251111022601110226rrrrrr433221111011100080000rrrr3231318rrrrr矩阵的初等变换16/4432313181110011000010000rrrrr1210000110,00010000rr12340,0,0,xxxx得到对应的方程组选x3为自由未知量,从而矩阵的初等变换17/441233340,,,0,xxxxxx12340110xxkxx.令x3k,k为任意数,得方程组的通解矩阵的初等变换18/442.4.2等价矩阵定义2.9如果矩阵A可经有限次初等变换化成B则称A与B等价记作AB矩阵等价的性质:数学上,把具有上述三条性质的关系都称为等价关系.(1)自反性:AA;(2)对称性:AB,则BA;(3)传递性:AB,BC,则AC.矩阵的初等变换19/4412005001010001200000C再对例2.14中的最简阶梯矩阵C进行初等列变换:21512510000001010001200000cccc542cc53cc矩阵的初等变换20/445354210000001000001000000cccc233410000010000010000000cccc3000E,FF称为增广矩阵的等价标准形.A矩阵的初等变换21/44非零矩阵Amn的等价标准形是指rmnE0.00规定零矩阵的等价标准形为它自身.推论2.2任何矩阵总可以经过有限次初等变换(行变换及列变换)化为等价标准形.非零矩阵Amn的等价标准形包括三种特殊情况:,mE0,nE0E.矩阵的初等变换22/44定义2.10由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.(1)对调矩阵:对调En的第i行与第j行(或第i列与第j列),记为Pn(i,j)或P(i,j);2.4.3初等矩阵3010(1,2)100001P.例如矩阵的初等变换23/443100(3(5))010005P.(2)倍乘矩阵:以数k0乘En的第i行(或第i列),记为Pn(i(k))或P(i(k));例如矩阵的初等变换24/44(3)倍加矩阵:将En的第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到第j列),记为Pn(i,j(k))或P(i,j(k)).410000103(2,4(3))00100001P.例如矩阵的初等变换25/44对矩阵A[aij]34,有1112131432122232431323334010(1,2)100001aaaaaaaaaaaaPA212223241112131431323334,aaaaaaaaaaaa即用对调矩阵P3(1,2)左乘矩阵A,等价于把A第一行与第二行对调;矩阵的初等变换26/441112131432122232431323334100(3(5))010005aaaaaaaaaaaaPA111213142122232431323334,5555aaaaaaaaaaaa即用倍乘矩阵P3(3(5))左乘矩阵A,等价于以数5乘A的第三行;矩阵的初等变换27/44111213144212223243132333410000103(2,4(3))00100001aaaaaaaaaaaaAP11121314122122232422313233343233,3aaaaaaaaaaaaaaa即用倍加矩阵P4(2,4(3))右乘矩阵A,等价于将A的第二列的3倍加到第四列.矩阵的初等变换28/44定理2.3设A是mn矩阵,对A做一次初等行变换等价于用对应的m阶初等矩阵左乘A;等价于用对应的n阶初等矩阵右乘A.容易验证一般地,初等变换与对应的初等矩阵有如下的关系:T(,)(,),ijijPPT(())(()),ikikPPT(,())(,())ijkjikPP.对A做一次初等列变换矩阵的初等变换29/44ijrr因变换的逆变换是其本身,故1(,)(,);ijijPP1,iikrrk因变换的逆变换为故11(());ikikPPijijrkrrkr因变换的逆变换为,故1(,())(,())ijkijkPP.矩阵的初等变换30/442.4.4求逆矩阵的初等变换法定理2.4矩阵A可逆当且仅当A可以只经过有限次初等行变换(或只经过有限次初等列变换)化为单位矩阵.推论2.5矩阵A可逆当且仅当A可表示为有限个初等矩阵的乘积.推论2.6AmnBmn当且仅当存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得PAQB.矩阵的初等变换31/44求逆阵的初等行变换法设A为n阶可逆矩阵,则有初等矩阵P1,P2,,Pl,使即对[AE]做一系列初等行变换化为最简阶梯矩阵,把A变成E时,原来的E就变成了A1.这也蕴含着判别n阶矩阵A是否可逆的过程.21,lPPPAE121,lPPPEA121,[][]lAEEAPPP矩阵的初等变换32/44223100[]110010121001AEAE也可以对做初等列变换,E被化为了A1.当A变成单位矩阵时,解例2.16求矩阵的逆矩阵.223110121A12322rrrr矩阵的初等变换33/441323rrrr12322043120110010011011rrrr1223110010011011043120rrrr12324101021011011001164rrrr矩阵的初等变换34/443(1)100143010153,001164r1143153164A.1323100143010153001164rrrr矩阵的初等变换35/44求A1等价于解矩阵方程AXE.类似地,当系数矩阵A可逆时,解矩阵方程AXB等价于用初等行变换求矩阵A1B:11[[]]AEABBA.例2.17求矩阵X,使AXB,其中12212234,3435557AB.解若A可逆,则可对增广矩阵做初等行变换求解:矩阵的初等变换36/4412212[]2343435557AB213123122120101001121rrrr12322102320101000111rrrr132100540101000111rr23(1)(1)1005401010,00111rr1541011XAB.矩阵的初等变换37/442.4.5分块初等变换与分块初等矩阵定义2.11设分块矩阵11