2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业24

课时作业(二十四)1．(2013·沧州七校联考)将函数y＝f(x)·sinx的图像向右平移π4个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图像，则f(x)可以是()A．cosxB．2cosxC．sinxD．2sinx答案B2．(2013·济宁模拟)为了得到函数y＝sin(2x－π6)的图像，可将函数y＝cos2x的图像()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度答案B3．与图中曲线对应的函数是()A．y＝sinxB．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|答案C4．(2012·安徽)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos2x的图像()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位答案C解析将y＝cos2x的图像向左平移12个单位后即变成y＝cos2(x＋12)＝cos(2x＋1)的图像．5.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A0，ω0，0φπ2)的图像如右图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是()A．－5AB．5AC．53AD．10A答案A解析由图像知A＝10，T2＝4300－1300＝1100.∴ω＝2πT＝100π.∴T＝10sin(100πt＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴I＝10sin(100πt＋π6)，当t＝1100秒时，I＝－5A，故选A.6．如果两个函数的图像平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝2(sinx＋cosx)；③f(x)＝sinx；④f(x)＝2sinx＋2.其中为“互为生成”函数的是()A．①②B．②③C．③④D．①④答案D解析首先化简所给四个函数解析式：①f(x)＝2sin(x＋π4)，②f(x)＝2sin(x＋π4)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝2sinx＋2.可知，③f(x)＝sinx不能单纯经过平移与其他三个函数图像重合，必须经过伸缩变换才能实现，故③不能与其他函数构成“互为生成”函数，同理，①与②的图像也不能仅靠图像平移达到重合，因此①④可仅靠平移能使其图像重合，所以①④为“互为生成”函数，故选D.7．(2013·衡水调研卷)周期函数f(x)的图像大致如下当0≤xπ时，f(x)＝5cosx2，则f(x)的解析式为：(其中k∈Z)()A．f(x)＝5cosx2，kπ≤x(k＋1)πB．f(x)＝5cos(x2＋kπ)，kπ≤x(k＋1)πC．f(x)＝5cosx＋kπ2，kπ≤x(k＋1)πD．f(x)＝5cosx－kπ2，kπ≤x(k＋1)π答案D8．(2012·新课标全国)已知ω0,0φπ，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝()A.π4B.π3C.π2D.3π4答案A解析由于直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，又0φπ，所以φ＝π4.9．(2012·东北三校一模)要得到函数f(x)＝sin(2x＋π3)的导函数f′(x)的图像，只需将f(x)的图像()A．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍B．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12C．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍D．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍答案C解析依题意得f′(x)＝2cos(2x＋π3)，先将f(x)的图像向左平移π4个单位得到的是y＝sin[2(x＋π4)＋π3]＝cos(2x＋π3)的图像；再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到的是y＝2cos(2x＋π3)的图像，因此选C.10．(2011·全国大纲文)设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9答案C解析依题意得，将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后得到的是f(x－π3)＝cosω(x－π3)＝cos(ωx－ωπ3)的图像，故有cosωx＝cos(ωx－ωπ3)，而cosωx＝cos(2kπ＋ωx－ωπ3)，故ωx－(ωx－ωπ3)＝2kπ，即ω＝6k(k∈N*)，因此ω的最小值是6，故选C.11．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝______.答案3解析由题图可知，T＝2π3，∴ω＝2πT＝3.12．将函数y＝sin(－2x)的图像向右平移π3个单位，所得函数图像的解析式为________．答案y＝sin(23π－2x)13．已知f(x)＝cos(ωx＋π3)的图像与y＝1的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图像，只需把y＝sinωx的图像向左平移________个单位．答案5π12解析依题意，y＝f(x)的最小正周期为π，故ω＝2，因为y＝cos(2x＋π3)＝sin(2x＋π3＋π2)＝sin(2x＋5π6)＝sin[2(x＋5π12)]，所以把y＝sin2x的图像向左平移5π12个单位即可得到y＝cos(2x＋π3)的图像．14．已知将函数f(x)＝2sinπ3x的图像向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图像与函数y＝g(x)的图像关于直线x＝1对称，则函数g(x)＝________.答案2sinπ3x＋2解析将f(x)＝2sinπ3x的图像向左平移1个单位后得到y＝2sin[π3(x＋1)]的图像，向上平移2个单位后得到y＝2sin[π3(x＋1)]＋2的图像，又因为其与函数y＝g(x)的图像关于直线x＝1对称，所以y＝g(x)＝2sin[π3(2－x＋1)]＋2＝2sin[π3(3－x)]＋2＝2sin(π－π3x)＋2＝2sinπ3x＋2.15．函数y＝sin2x的图像向右平移φ(φ0)个单位，得到的图像恰好关于直线x＝π6对称，则φ的最小值是________．答案5π12解析y＝sin2x的图像向右平移φ(φ0)个单位，得y＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．因其中一条对称轴方程为x＝π6，则2·π6－2φ＝kπ＋π2(k∈Z)．因为φ0，所以φ的最小值为5π1216．已知函数f(x)＝2sinxcos(π2－x)－3sin(π＋x)cosx＋sin(π2＋x)cosx.(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；(2)指出y＝f(x)的图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于坐标原点对称．答案(1)T＝π，最大值52，最小值12(2)左移π12，下移32个单位解析(1)f(x)＝2sinxsinx＋3sinxcosx＋cosxcosx＝sin2x＋1＋3sinxcosx＝32＋32sin2x－12cos2x＝32＋sin(2x－π6)，∴y＝f(x)的最小正周期T＝π，y＝f(x)的最大值为32＋1＝52，最小值为32－1＝12.(2)将函数f(x)＝32＋sin(2x－π6)的图像左移π12个单位，下移32个单位得到y＝sin2x关于坐标原点对称．(附注：平移(－kπ2－π12，－32)，k∈Z均可)17．(2012·福建)已知函数f(x)＝axsinx－32(a∈R)，且在[0，π2]上的最大值为π－32.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．解析(1)由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈(0，π2)，有sinx＋xcosx0.当a＝0时，f(x)＝－32，不合题意；当a0时，x∈(0，π2)时，f′(x)0，从而f(x)在(0，π2)内单调递减，又f(x)在[0，π2]上的图像是连续不断的，故f(x)在[0，π2]上的最大值为f(0)＝－32，不合题意；当a0，x∈(0，π2)时，f′(x)0，从而f(x)在(0，π2)内单调递增，又f(x)在[0，π2]上的图像是连续不断的，故f(x)在[0，π2]上的最大值为f(π2)，即π2a－32＝π－32，解得a＝1.综上所述，得f(x)＝xsinx－32.(2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f(x)＝xsinx－32，从而有f(0)＝－320，f(π2)＝π－320.又f(x)在[0，π2]上的图像是连续不断的，所以f(x)在(0，π2)内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在[0，π2]上单调递增，故f(x)在(0，π2)内有且只有一个零点．当x∈[π2，π]时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由g(π2)＝10，g(π)＝－π0，且g(x)在[π2，π]上的图像是连续不断的，故存在m∈(π2，π)，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈(π2，π)时，有g′(x)0.从而g(x)在(π2，π)内单调递减．当x∈(π2，m)时，g(x)g(m)＝0，即f′(x)0，从而f(x)在(π2，m)内单调递增，故当x∈[π2，m]时，f(x)≥f(π2)＝π－320，故f(x)在[π2，m]上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)g(m)＝0，即f′(x)0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．又f(m)0，f(π)0，且f(x)在[m，π]上的图像是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．18．(2012·湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0φπ2)的部分图像如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x－π12)－f(x＋π12)的单调递增区间．解析(1)由题设图像知，最小正周期T＝2×(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点(5π12，0)在函数图像上，所以Asin(2×5π12＋φ)＝0.即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0φπ2，所以5π65π6＋φ4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图像上，所以Asinπ6＝1，得A＝2.故f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)g(x)＝2sin[2(x－π12)＋π6]－2sin[2(x＋π12)＋π6]＝2sin2x－2sin(2x＋π3)＝2sin2x－2(12sin2x＋32cos2x)＝sin2x－3cos2x＝2sin(2x－π3)．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.1．已知函数y＝f(x)，将f(x)的图像上各点纵坐标乘以3，横坐标乘以2，再将图像向右平移π3，得y＝sinx的图像，则原函数解析式为()A．y＝13sin(2x＋π3)B．y＝13sin(2x＋π6)C．y＝13sin(x2＋π3)D．y＝13sin(x2＋π6)答案C2．已知简谐运动f(x)＝2sin(π3x＋φ)(|φ|π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3答案A解析∵图像过点(0,1)，∴2sinφ＝1，∴sinφ＝12.∵|φ|π2，∴φ＝π6，T＝2ππ3＝6.3．(2012·天津)将函数f(x)＝sinωx(其中ω0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点(3π4，0)，则ω的最小值是()A.13B．1C.53D．2答案D解析将函数f(x)＝sinωx的图像向右平移π4个单位长度，得到的图