2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业45

课时作业(四十五)1．如图是2013年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是()答案A解析该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30答案B解析观察归纳可知第n个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋12，∴第七个三角形数为7×7＋12＝28.3．因为对数函数y＝logax(a0，且a≠1)是增函数，而y＝log12x是对数函数，所以y＝log12x是增函数，上面的推理错误的是()A．大前提B．小前提C．推理形式D．以上都是答案A解析y＝logax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选A.4．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199答案C解析记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.5．(2013·衡水调研卷)已知an＝(13)n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：a1a2a3a4a5a6a7a8a9……记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝()A．(13)67B．(13)68C．(13)111D．(13)112答案D解析该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝(13)112.6．设f(x)＝1＋x1－x，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，则f2013(x)等于()A．－1xB．xC.x－1x＋1D.1＋x1－x答案D解析计算：f2(x)＝f(1＋x1－x)＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x＝－1x，f3(x)＝f(－1x)＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1，f4(x)＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5(x)＝f1(x)＝1＋x1－x，归纳得f4k＋1(x)＝1＋x1－x，k∈N*，从而f2013(x)＝1＋x1－x.7．某纺织厂的一个车间技术工人m名(m∈N*)，编号分别为1,2,3，…，m，有n台(n∈N*)织布机，编号分别为1,2,3，…，n，定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij＝1，否则aij＝0，则等式a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3的实际意义是()A．第4名工人操作了3台织布机B．第4名工人操作了n台织布机C．第3名工人操作了4台织布机D．第3名工人操作了n台织布机答案A解析a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1,2，…，n表示第1号织布机，第2号织布机，……，第n号织布机，根据规定可知这名工人操作了三台织布机．8．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，…，类比有x＋axn≥n＋1(n∈N*)，则a＝()A．nB．2nC．n2D．nn答案D解析第一个式子是n＝1的情况，此时a＝1，第二个式子是n＝2的情况，此时a＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33，归纳可以知道a＝nn.9．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y＝x与双曲线y＝1x的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y＝2x与双曲线y＝8x的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y＝3x与双曲线y＝27x的一个交点；……请观察上面命题，猜想出命题n(n是正整数)为________．答案点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝n3x的一个交点解析点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝n3x的一个交点，观察题中给出的命题易知，命题n中交点坐标为(n，n2)，直线方程为y＝nx，双曲线方程为y＝n3x.10．(2011·陕西理)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为________．答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2解析每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n行的个数为2n－1.所以第n行数依次是n、n＋1、n＋2、…、3n－2.其和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.11．(2013·九江市联考)已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得：2yy′＝2p，则y′＝py，所以过P的切线的斜率：k＝py0.试用上述方法求出双曲线x2－y22＝1在P(2，2)处的切线方程为________．答案2x－y－2＝0解析用类比的方法对y22＝x2－1两边同时对x求导得，yy′＝2x，∴y′＝2x0y0＝2×22＝2.∴切线方程为y－2＝2(x－2)，∴2x－y－2＝0.12．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形．答案28解析设第n个图中小正方形个数为an，则a1＝3，a2＝a1＋3＝6，a3＝a2＋4＝10，a4＝a3＋5＝15，a5＝a4＋6＝21，a6＝a5＋7＝28.答案am＋n＋bm＋nambn＋anbm(a，b0，a≠b，m，n0)再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：am＋n＋bm＋nambn＋anbm(a，b0，a≠b，m，n0)．14．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________________________________________________；②式可用语言叙述为_____________________________________________．答案①(43πR3)′＝4πR2②球的体积函数的导数等于球的表面积函数15．已知数列{an}为等差数列，则有等式a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2＋6a3－4a4＋a5＝0.(1)若数列{an}为等比数列，通过类比，则有等式________．(2)通过归纳，试写出等差数列{an}的前n＋1项a1，a2，…，an，an＋1之间的关系为________．答案(1)a1a－22a3＝1，a1a－32a33a－14＝1，a1a－42a63a－44a5＝1(2)C0na1－C1na2＋C2na3－…＋(－1)nCnnan＋1＝0解析因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是有第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，______，______，T16T12成等比数列．答案T8T4T12T8解析对于等比数列，通过类比，在等比数列{bn}中前n项积为Tn，则T4＝b1b2b3b4，T8＝b1b2…b8，T12＝b1b2…b12，T16＝b1b2…b16，因此T8T4＝b5b6b7b8，T12T8＝b9b10b11b12，T16T12＝b13b14b15b16，而T4，T8T4，T12T8，T16T12的公比为q16，因此T4，T12T8，T16T12成等比数列．17．已知函数f(x)＝aa2－1(ax－a－x)，其中a0，且a≠1.(1)判断函数f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；(2)判断f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．解析(1)由已知得f′(x)＝alnaa2－1(ax＋a－x)0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．(2)f(2)－2f(1)－1，f(3)－3f(2)－2.一般的结论为：f(n＋1)－(n＋1)f(n)－n(n∈N*)．证明过程如下：事实上，上述不等式等价于f(n＋1)－f(n)1⇔a2n＋1＋1an＋1＋an1⇔(an＋1－1)(an－1)0，在a0且a≠1的条件下，(an＋1－1)(an－1)0显然成立，故f(n＋1)－(n＋1)f(n)－n(n∈N*)成立．1．自然数按下列的规律排列则上起第2007行，左起第2008列的数为()A．20072B．20082C．2006×2007D．2007×2008答案D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2007行，左起第2008列的数，应是第2008列的第2007个数，即为[(2008－1)2＋1]＋2006＝2007×2008.2．已知y与x(x≤100)之间的部分对应关系如下表：x1112131415…y297148295147293…则x、y可能满足的一个关系式为________．答案y(108－x)＝2解析将11、12、13、14、15对应的函数值分别写成297、296、295、294、293，观察可得以上函数值的分母依次成等差数列，设所成的等差数列为{an}，易知分母an＝a11＋(n－11)·(－1)＝97－n＋11＝108－n，因此y＝2108－x，即y(108－x)＝2.3.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签20132的格点的坐标为________．答案(1007,1006)解析∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1007,1006)处标20132.4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝35，33＝7911，43＝13151719，……仿此，若m3的“分裂数”中有一个数是59，则m的值为________．答案8解析依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9，…，且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2开始的前n个正整数的立方共用去数列{2n－1}中的项数是nn＋12－1，数列{2n－1}(n∈N)*中的第nn＋12项是n(n＋1)－1.注意到7×8－1598×9－1，因此m＝8.5．已知任意一个正整数的三次幂均可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33可表示为7＋9＋11，我们把7、9、11叫做33的“数因子”，若n3的一个“数因子”为2013，则n＝________.13＝123＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19……