2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业67

课时作业(六十七)1．与直线4x－y＋3＝0平行的抛物线y＝2x2的切线方程是()A．4x－y＋1＝0B．4x－y－1＝0C．4x－y－2＝0D．4x－y＋2＝0答案C解析∵y′＝4x＝4，∴x＝1，y＝2，过(1,2)斜率为4的直线为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.2．(2013·石家庄质检)已知抛物线y2＝2px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A、B两点，若|AB|＝10，P为抛物线的准线上一点，则△ABP的面积为()A．20B．25C．30D．50答案B解析本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质．属于基础知识、基本运算的考查．抛物线y2＝2px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A、B两点，则|AB|＝2p，|AB|＝10，所以抛物线方程为y2＝10x，P为抛物线的准线上一点，P到直线AB的距离为p＝5，则△ABP的面积为12×10×5＝25.3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)答案B解析设A(x0，y0)，F(1,0)，OA→＝(x0，y0)，AF→＝(1－x0，－y0)，OA→·AF→＝x0(1－x0)－y20＝－4.∵y20＝4x0，∴x0－x20－4x0＋4＝0⇒x20＋3x0－4＝0，x1＝1，x2＝－4(舍)．∴x0＝1，y0＝±2.4．已知坐标原点为O，A、B为抛物线y2＝4x上异于O的两点，且OA→·OB→＝0，则|AB→|的最小值为()A．4B．8C．16D．64答案B解析由于OA→·OB→＝0，设直线OA、OB的方程为y＝kx、y＝－1kx，分别与抛物线方程联立求得A4k2，4k，B(4k2，－4k)，|AB|＝4k2－4k22＋4k＋4k2＝4k4＋1k4＋k2＋1k2≥8，故选B.5．已知抛物线C的方程为x2＝12y，过点A(0，－1)和点(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.－∞，－22∪22，＋∞C．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析如下图，设过A的直线方程为y＝kx－1，与抛物线方程联立得x2－12kx＋12＝0，Δ＝14k2－2＝0，k＝±22，求得过点A的抛物线的切线与y＝3的交点为(±2，3)，则当过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选D.6．长为l(l1)的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是()A.l2B.l22C.l4D.l24答案D解析由l2p＝1，则当AB⊥x轴时，x0取得最小值l28p，即l24.故选D.7．直线l经过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S.若|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|的值为()A．a＋bB.12(a＋b)C．abD.ab答案D解析根据抛物线的定义，有|PF|＝|PR|，|QF|＝|QS|.易知△RFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长．在直角梯形PRSQ中，容易求得|RS|＝2ab.故|FM|＝12|RS|＝ab.8．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.14，－1B.14，1C．(1,2)D．(1，－2)答案A解析焦点F(1,0)，准线为l：x＝－1.过Q点作直线l的垂线交抛物线于P点，交准线l于M点，则|QP|＋|PF|＝|QP|＋|PM|＝|QM|＝3为所求的最小值，此时P14，－1.9．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝()A．9B．6C．4D．3答案B解析焦点F坐标为(1,0)，设A、B、C坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．∴FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)，FC→＝(x3－1，y3)．∵FA→＋FB→＋FC→＝0，∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0.∴x1＋x2＋x3＝3.∴|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝x1－12＋y21＋x2－12＋y22＋x3－12＋y23＝x1＋12＋x2＋12＋x3＋12＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.10．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA→与x轴正向的夹角为60°，则|OA→|为()A.21p4B.21p2C.236pD.13p36答案B解析设A(x0，y0)(y00)，则过A作AB⊥x轴于B.则|BF|＝x0－p2，|AF|＝x0＋p2.又∵∠AFB＝60°，∴|AF|＝2|BF|.∴x0＝32p，y0＝3p.∴|OA|＝x20＋y20＝21p2.11．(2012·陕西)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案26解析设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6.所以水面宽为26米．12．已知抛物线C：y2＝x，过点A(x0,0)(x0≥18)作直线l交抛物线于P，Q(点P在第一象限)．(1)当过抛物线C的焦点，且弦长|PQ|＝2时，求直线l的方程；(2)设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ.求证：点B的坐标是(－x0,0)，并求点B到直线l的距离d的取值范围．解析(1)由抛物线C：y2＝x得抛物线的焦点坐标为14，0，设直线l的方程为x＝ny＋14，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由y2＝x，x＝ny＋14，得y2－ny－14＝0.所以Δ＝n2＋10，y1＋y2＝n.因为x1＝ny1＋14，x2＝ny2＋14，所以|PQ|＝x1＋14＋x2＋14＝x1＋x2＋12＝n(y1＋y2)＋1＝2.所以n2＝1，即n＝±1.所以直线l的方程为x－y－14＝0或x＋y－14＝0.(2)设l：x＝my＋x0(m≠1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则M(x2，－y2)．由x＝my＋x0，y2＝x，得y2－my－x0＝0.因为x0≥18，所以Δ＝m2＋4x00，y1＋y2＝m，y1y2＝－x0.设B(xB,0)，则BM→＝(x2－xB，－y2)，BP→＝(x1－xB，y1)．由题意知，BM→∥BP→，∴x2y1－y1xB＝－x1y2＋xBy2.即(y1＋y2)xB＝x1y2＋x2y1＝y21y2＋y22y1＝(y1＋y2)·y1y2.显然y1＋y2＝m≠0，∴xB＝y1y2＝－x0.∴B(－x0,0)．由题意知，△BMQ为等腰直角三角形，∴kPB＝1，即y1＋y2x1－x2＝1，即y1＋y2y21－y22＝1.∴y1－y2＝1.∴(y1＋y2)2－4y1y2＝1.∴m2＋4x0＝1.∴m2＝1－4x00.∴x014.∵x0≥18，∴18≤x014.∴d＝2x0m2＋1＝2x02－4x0＝21x02－21x0＝21x0－12－1∈612，12.即d的取值范围是612，12.13．在四边形ABCD中，已知A(0,0)，D(0,4)，点B在x轴上，BC∥AD，且对角线AC⊥BD.(1)求点C的轨迹方程；(2)若点P是直线y＝2x－5上任意一点，过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF，E、F为切点，M为EF的中点．求证：PM⊥x轴；(3)在(2)的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．解析(1)如右图，设点C的坐标为(x，y)(x≠0，y≠0)，则B(x,0)，AC→＝(x，y)，BD→＝(－x,4)，∵AC→⊥BD→，∴x·(－x)＋y·4＝0，即y＝14x2(x≠0)．∴所求的轨迹是除去顶点的抛物线．(2)对函数y＝14x2求导，得y′＝12x.设切点为x0，14x20，则过该切点的切线的斜率是12x0.该切线方程是y－14x20＝12x0(x－x0)．又设点P的坐标为(t,2t－5)，∵切线过点P，∴有2t－5－14x20＝12x0(t－x0)，化简得x20－2tx0＋8t－20＝0.设E、F两点的坐标分别为x1，14x21，x2，14x22，则x1、x2为方程x2－2tx＋8t－20＝0的两根，x1＋x2＝2t，x1x2＝8t－20.∴xM＝x1＋x22＝t.因此，当t＝0时，直线PM与y轴重合，当t≠0时，直线PM与y轴平行．因此可证：PM⊥x轴．(3)∵yM＝1214x21＋14x22＝18[(x1＋x2)2－2x1x2]＝18[4t2－2(8t－20)]＝12t2－2t＋5，∴点M的坐标为t，12t2－2t＋5.又∵kEF＝14x21－14x22x1－x2＝14(x1＋x2)＝14·2t＝12t，∴直线EF的方程为y－12t2－2t＋5＝12t(x－t)，即t(x－4)＋10－2y＝0.(*)∵当x＝4，y＝5时，方程(*)恒成立．∴对任意实数t，直线AB恒过定点，定点坐标为(4,5)．14．(2013·江南十校联考)已知椭圆C1：x24＋y2b2＝1(0b2)的离心率为32，抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C2的方程；(2)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．解析(1)∵椭圆C1的长半轴长a＝2，半焦距c＝4－b2，由e＝ca＝4－b22＝32，得b2＝1.∴椭圆C1的上顶点为(0,1)．∴抛物线C2的焦点为(0,1)．∴抛物线C2的方程为x2＝4y.(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)．由x2＝4y，得y＝14x2.∴y′＝12x.∴切线l1，l2的斜率分别为12x1，12x2.当l1⊥l2时，12x1·12x2＝－1，即x1x2＝－4.由y＝kx＋1，x2＝4y，得x2－4kx－4k＝0.∴Δ＝(－4k)2－4×(－4k)0，解得k－1或k0.①由x1x2＝－4k＝－4，得k＝1，满足①式，∴直线l的方程为x－y＋1＝0.1．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若∠CBF＝90°，则|AF|－|BF|的值为()A.p2B．pC.3p2D．2p答案D解析如图，设B(x1，yB)在直角三角形CBF中利用射影定理得y2B＝x1＋p2·p2－x1＝p24－x21＝2px1，x1＝5－22p，|BF|＝5－12p，又直角三角形CBF与直角三角形ADF相似，∴|AF|p＝|DF||BF|＝|AF|－p|BF|，|AF|＝5＋32p，则|AF|－|BF|的值为2p，故选D.2．(2013·衡水调研卷)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x答案B解析由题可知抛物线焦点坐标为(a4，0)，于是过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－a4)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－a2)，所以S△OAF＝12·|a|4·|a|2＝4.∴a＝±8，故选B.3．(2013·粤西北九校