2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业70

课时作业(七十)1．已知椭圆x2＋y22＝a2(a0)与A(2,1)，B(4,3)为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是()A．0a322B．0a322或a822C．a322或a822D.322a822答案B解析椭圆恰好经过A与椭圆恰好经过B是临界，将A、B两点代入解，a＝322，a＝822，由数形结合知，B正确．2．已知A、B、C三点在曲线y＝x上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当△ABC的面积最大时，m等于()A．3B.94C.52D.32答案B解析A(1,1)，C(4,2)，直线AC方程为x－3y＋2＝0.设点B到直线AC的距离为d.∴S△ABC＝12|AC|·d＝12·10·|m－3m＋2|10＝12|m－3m＋2|.∵1m4，∴1m2，当且仅当m＝32时，S△ABC取最大值，∴m＝94，∴B正确．3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是()A.43B.75C.85D．3答案A解析设与抛物线y＝－x2相切且与直线4x＋3y－8＝0，平行的直线方程为4x＋3y＋d＝0.y＝－x2，4x＋3y＋d＝0，3x2－4x－d＝0，Δ＝16＋12d＝0，d＝－43.∴距离最小值为|－43＋8|5＝43，故A正确．4．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是()A．5B．8C.17－1D.5＋2答案C解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线的距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.5．若双曲线x2－y2＝1的左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为2，则a＋b的值为________．答案－12解析P(a，b)到x－y＝0的距离为2，∴|a－b|2＝2，∴|a－b|＝2.又P在双曲线x2－y2＝1上，∴a2－b2＝1.∵P在左支上，∴|a||b|.又a0，∴a－b＝－2.∴a＋b＝－12.6．已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B，两点，在抛物线AOB这段曲线上有一点P，则△APB的面积的最大值为________．答案274解析由弦长公式知|AB|＝35，只需点P到直线AB距离最大就可保证△APB的面积最大．设与l平行的直线y＝2x＋b与抛物线相切，解得b＝12.∴d＝9510，∴(S△APB)max＝12×35×9510＝274.7．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA→·PB→的取值范围．解析(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离，即r＝41＋3＝2.得到圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1x2.由x2＝4，即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得x＋22＋y2·x－22＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2.PA→·PB→＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．由于点P在圆O内，故x2＋y24，x2－y2＝2.由此得y21.所以PA→·PB→的取值范围为[－2,0)．8．已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6＋42.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．解析(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6＋42，所以2a＋2c＝6＋42，又椭圆的离心率为223，即ca＝223，所以c＝223a，所以a＝3，c＝22，故b2＝a2－c2＝1.椭圆M的方程为x29＋y2＝1.(2)方法一不妨设直线BC的方程为y＝n(x－3)，(n0)，则直线AC的方程为y＝－1n(x－3)．由y＝nx－3，x29＋y2＝1，得(19＋n2)x2－6n2x＋9n2－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3x2＝81n2－99n2＋1，所以x2＝27n2－39n2＋1，同理可得x1＝27－3n29＋n2.所以|BC|＝1＋n269n2＋1，|AC|＝1＋n2n6n29＋n2，S△ABC＝12|BC||AC|＝2n＋1nn＋1n2＋649.设t＝n＋1n≥2，则S＝2tt2＋649＝2t＋649t≤38，当且仅当t＝83时取等号．所以△ABC面积的最大值为38.方法二不妨设直线AB的方程x＝ky＋m(m≠3)．由x＝ky＋m，x29＋y2＝1，消去x得(k2＋9)y2＋2kmy＋m2－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝－2kmk2＋9，y1y2＝m2－9k2＋9.①因为以AB为直径的圆过点C(3,0)，所以CA→·CB→＝0.由CA→＝(x1－3，y1)，CB→＝(x2－3，y2)，得(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝0.将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式，得(k2＋1)y1y2＋k(m－3)(y1＋y2)＋(m－3)2＝0.将①代入上式，解得m＝125或m＝3(舍)．所以m＝125(此时直线AB经过定点D(125，0)，与椭圆有两个交点)，所以S△ABC＝12|DC||y1－y2|＝12×35y1＋y22－4y1y2＝9525k2＋9－14425k2＋92.设t＝1k2＋9，0t≤19，则S△ABC＝95－14425·t2＋t.所以当t＝25288∈(0，19]时，S△ABC取得最大值38.9．(2013·大同调研)已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)，且(a＋3b)⊥(a－3b)．(1)求满足上述条件的点M(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点P、Q，点A(0，－1)，当|AP|＝|AQ|时，求实数m的取值范围．解析①∵(a＋3b)⊥(a－3b)，∴(a＋3b)·(a－3b)＝0，∴a2－3b2＝0.∴x2＋3y2＝3，即点M(x，y)的轨迹C的方程为x23＋y2＝1.②由y＝kx＋m，x2＋3y2－3＝0，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.∵曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点，∴Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2－m2＋1)0，即3k2－m2＋10.①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－3km1＋3k2，y0＝kx0＋m＝m1＋3k2.∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.设kAN表示直线AN的斜率，又k≠0，∴kAN·k＝－1，即－1－m1＋3k23km1＋3k2·k＝－1，得3k2＝2m－1.②∵3k20，∴m12.将②代入①得2m－1－m2＋10，即m2－2m0，解得0m2，∴m的取值范围为(12，2)．10．(2012·浙江)如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．解析(1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得2＋c2＋1＝10，ca＝12，得c＝1，a＝2.所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由y＝kx＋m，3x2＋4y2＝12，消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)0，x1＋x2＝－8km3＋4k2，x1x2＝4m2－123＋4k2.所以线段AB的中点M(－4km3＋4k2，3m3＋4k2)．因为M在直线OP上，所以3m3＋4k2＝－2km3＋4k2，得m＝0(舍去)或k＝－32.此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)0，x1＋x2＝m，x1x2＝m2－33.所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝396·12－m2.设点P到直线AB距离为d，则d＝|8－2m|32＋22＝2|m－4|13.设△ABP的面积为S，则S＝12|AB|·d＝36·m－4212－m2，其中m∈(－23，0)∪(0,23)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－23，23]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－7)(m－1＋7)．所以当且仅当m＝1－7，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－7，S取到最大值．综上，所求直线l方程为3x＋2y＋27－2＝0.1．设θ∈(0，π4)，则二次曲线x2tanθ－y2tanθ＝1的离心率的取值范围是()A．(0，12)B．(12，22)C．(22，2)D．(2，＋∞)答案D解析∵x2tanθ－y21tanθ＝1，∴a2＝tanθ，b2＝1tanθ.∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝1＋1tan2θ.∵θ∈(0，π4)，tanθ∈(0,1)，∴1tan2θ1.∴e22，∴D正确．2．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b0)的两条渐近线的夹角为θ(包含实轴的角)，而离心率e∈[2，2]，则θ的取值范围是()A．[π6，π2]B．[π3，π2]C．[π2，2π3]D．[2π3，π]答案C解析e∈[2，2]，e2∈[2,4]，1＋b2a2∈[2,4]，b2a2∈[1,3]，ba∈[1，3]，tanθ1∈[1，3]，∴θ1∈[π4，π3]．∴θ＝2θ1∈[π2，23π]，故C正确．3.如图，抛物线y2＝4x的一段与椭圆x24＋y23＝1的一段围成封闭图形，点N(1,0)在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB∥x轴，则△NAB的周长l的取值范围________．答案l∈(103，4)解析N(1,0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|NA|＝x1＋1，|NB|＝a－ex2＝2－12x2，|AB|＝|x2－x1|＝x2－x1，∴△NAB的周长l＝|NA|＋|NB|＋|AB|＝x1＋1＋2－12x2＋x2－x1＝3＋12x2.∵B在椭圆上，∴－2x22.又y2＝4x，3x2＋4y2＝12，解交点横坐标为23.∴23x22，∴l∈(103，4)．4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，M，N是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为________．答案32解析依题意，设P(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，则x20a2＋y20b2＝1.①kPM＝y0x0＋a，kPN＝y0x0－a，kPM·kPN＝y20x20－a2，由①得y20b2＝1－x20a2＝a2－x20a2＝－b2a2，故kPM·kPN＝－b2a2，则|kPM||kPN|＝b2a2，据题意，得|kPM|＋|kPN|≥2b2a2＝1，即ba＝12，故e＝ca＝32.