2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业78

课时作业(七十八)1．如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为()A.2πB.1πC.12D．1－2π答案D解析S扇形＝14πR2＝π，S△＝12×2×2＝2，S阴影＝S扇形－S△＝π－2.由几何概型概率公式得黄豆落在阴影部分的概率P＝π－2π＝1－2π.2．在集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}内任取一个元素，能使不等式x5＋y2－1≤0成立的概率为()A.14B.34C.13D.23答案A解析集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝4所围成的长为5、宽为4的矩形，而不等式x5＋y2－1≤0和集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形，由几何概型公式可以求得概率为12×5×25×4＝14.3．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17答案C解析阴影部分的面积为16，故所求的概率P＝阴影部分的面积正方形OABC的面积＝16，故选C.4．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件f2≤12，f－2≤4为事件A，则事件A发生的概率为()A.14B.58C.12D.38答案C解析由题意知，事件A所对应的线性约束条件为0≤b≤4，0≤c≤4，4＋2b＋c≤12，4－2b＋c≤4，其对应的可行域如图中阴影部分所示，所以事件A的概率P(A)＝S△OADS正方形OABC＝12，选C.5．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B．1－π12C.π6D．1－π6答案B解析正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr3＝12×4π3×13＝2π3，则点P到点O的距离小于或等于1的概率为2π38＝π12，故点P到点O的距离大于1的概率为1－π12.6．(2013·滨州一模)在区域x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，y≥0内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为()A.π2B.π8C.π6D.π4答案D解析区域为△ABC内部(含边界)，则概率为P＝S半圆S△ABC＝π212×22×2＝π4，故选D.7．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A.14B.13C.12D.23答案B解析如图所示，这是长度型几何概型问题，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为P＝13.8．(2013·沧州七校联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是()A.45B.15C.13D.12答案B解析如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9π的概率为P(A)＝810＝45.∴所截得圆的面积小于9π的概率为P(A)＝1－45＝15.9．已知实数a满足－3a4，函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R的概率为P1，定义域为R的概率为P2，则()A．P1P2B．P1＝P2C．P1P2D．P1与P2的大小不确定答案C解析若f(x)的值域为R，则Δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2.故P1＝－2－－34－－3＋4－24－－3＝37.若f(x)的定义域为R，则Δ2＝a2－40，得－2a2.故P2＝47.∴P1P2.10.(2013·茂名第一次模拟)已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的试验发现粒子落入△BCD内的频率稳定在25附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为________．答案32解析由几何概型的概率计算公式，得粒子落在△ABD与△CBD中的概率之比等于△ABD与△CBD的面积之比，而△ABD与△CBD的面积之比又等于点A和点C到直线BD的距离之比，所以点A和点C到直线BD的距离之比约为3525＝32，故填32.11．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0使f(x0)≤0的概率为________．答案0.3解析如图，在[－5,5]上函数的图像与x轴交于两点(－1,0)，(2,0)，而x0∈[－1,2]，那么f(x0)≤0.所以P＝区间[－1，2]的长度区间[－5，5]的长度＝310＝0.3.12．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0≤x24,0≤y24且y－x4或y－x－4.作出区域0≤x24，0≤y24，y－x4或y－x－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y2或y－x4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域0≤x24，0≤y24，y－x4或x－y2.P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.13．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域x＋y－8≤0，x0，y0内随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解析(1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图像的对称轴为x＝2ba，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a0且2ba≤1，即2b≤a.若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1,1；若a＝3，则b＝－1,1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.∴所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|a＋b－8≤0，a0，b0}构成所求事件的区域为三角形部分．由a＋b－8＝0，b＝a2，得交点坐标为(163，83)．∴所求事件的概率为P＝12×8×8312×8×8＝13.14．(2013·广东深圳)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：x＋2y－3≤0，x≥0，y≥0所表示的平面区域内的概率．解析(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝212＝16.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤4}内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x，y)|x＋2y－3≤0，x≥0，y≥0}，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，32)，∴三角形OAD的面积为S1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P＝S1S＝9412＝316.15．(2013·山东济南一模)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解析(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.基本事件有：(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12个基本事件；其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．故P(A)＝212＝16.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b0，即2x＋y0，且x≠2.Ω＝x，y－1≤x≤2，－1≤y≤1，B＝x，y－1≤x≤2，－1≤y≤1，2x＋y0，x≠2y作出可行域，可得P(B)＝μBμΩ＝12×12＋32×23×2＝13.1.扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C、D、E将弧AB等分成四份．连接OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是()A.310B.15C.25D.12答案A解析依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面积恰为π8的扇形(即相应圆心角恰为π4的扇形)共有3个(即扇形AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于310，选A.2．对于非负实数a，在区间[0,10]上任取一个数a，使得不等式2x2－ax＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．答案45解析要使2x2－ax＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax≤2x2＋8，即a≤2x＋8x在(0，＋∞)上恒成立．又2x＋8x≥216＝8，当且仅当x＝2时等号成立，故只需a≤8，因此0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8－010－0＝45.3．袋中有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，现从袋中随机取1个小球，取到标号为2的小球的概率为12.(1)求n的值；(2)从袋中不放回随机抽取两个小球①记第一次抽出的小球标号为a，第二次抽出的小球标号为b，记事件A表示“a＋b＝2”的概率，求A发生的概率；②在区间[0,2]内任取两个实数x，y，求事件“x2＋y2(a－b)2”恒成立的概率．解析(1)由题意可知：n1＋1＋n＝12，解得n＝2.(2)①两次不放回抽取小球的所有基本事件总数为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,21)，(1,22)，(21,22)，(1,0)，(21,0)，(22,0)，(21,1)，(22,1)，(22,21)共12个，事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)共4个，∴P(A)＝412＝13.②记“x2＋y2(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y24”，(x，y)可以看成平面上的点，则全部结果所构成区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x、y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y24，x、y∈Ω}，P(B)＝SBSΩ＝2×2－π2×2＝1－π4.