2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题27二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理(含解析)

-1-2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题27二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【热点题型】题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A.43，＋∞B．(0，1]C.1，43D．(0，1]∪43，＋∞(2)若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34【答案】(1)D(2)A【解析】-2-【提分秘籍】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．【举一反三】(1)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()-3-A.12B．1C.32D．2(2)在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3【答案】(1)B(2)D【解析】-4-题型二简单线性目标函数的最值问题【例2】(1)设x，y满足约束条件x＋y－7≤0，x－3y＋1≤0，3x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．2(2)若x，y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A．2B．－2C.12D．－12【答案】(1)B(2)D【解析】-5-【提分秘籍】(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．【举一反三】(1)x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.12或－1B．2或12C．2或1D．2或－1(2)若变量x，y满足约束条件x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．【答案】(1)D(2)1【解析】-6-当目标函数z＝3x＋y经过点A(0，1)时，z＝3x＋y取得最小值zmin＝3×0＋1＝1.题型三实际生活中的线性规划问题【例3】某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【答案】C【解析】【提分秘籍】线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按求最优解的步骤解决．【举一反三】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种-7-植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50【答案】B【解析】【高考风向标】1.【2015高考北京，理2】若x，y满足010xyxyx≤，≤，≥，则2zxy的最大值为（）A．0B．1C．32D．2【答案】D-8-【解析】如图，先画出可行域，由于2zxy，则1122yxz，令0Z，作直线12yx，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2.2．【2015高考广东，理6】若变量x，y满足约束条件2031854yxyx则yxz23的最小值为（）A．531B.6C.523D.4【答案】C-9-3.【2015高考天津，理2】设变量,xy满足约束条件2030230xxyxy，则目标函数6zxy的最大值为()（A）3（B）4（C）18（D）40【答案】C【解析】4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）-10-A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额（吨）3212（吨）128【答案】D【解析】5.【2015高考福建，理5】若变量,xy满足约束条件20,0,220,xyxyxy则2zxy的最小值等于()A．52B．2C．32D．2【答案】A-11-xyBOA【解析】6.【2015高考山东，理6】已知,xy满足约束条件020xyxyy，若zaxy的最大值为4，则a（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3【答案】B【解析】不等式组020xyxyy在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，-12-若zaxy的最大值为4，则最优解可能为1,1xy或2,0xy，经检验，2,0xy是最优解，此时2a；1,1xy不是最优解.故选B.7.【2015高考新课标1，理15】若,xy满足约束条件10040xxyxy，则yx的最大值为.【答案】3【解析】8.【2015高考浙江，理14】若实数,xy满足221xy，则2263xyxy的最小值是．【答案】3.【解析】122yx表示圆122yx及其内部，易得直线yx36与圆相离，故yxyx36|36|，当022yx时，2263=24xyxyxy，如下-13-图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数42yxz，则可知当53x，54y时，3minz，当022yx时，2263=834xyxyxy，可行域为大的弓形内部，目标函数yxz438，同理可知当53x，54y时，3minz，综上所述，|36||22|yxyx.9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件1020,220,xyxyxy，，则zxy的最大值为____________．【答案】32【解析】【考点定位】线性规划．-14-xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO10.【2015高考湖南，理4】若变量x，y满足约束条件1211xyxyy，则3zxy的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.【解析】【高考押题】1．不等式组y≤－x＋2，y≤x－1，y≥0所表示的平面区域的面积为()-15-A．1B.12C.13D.14【答案】D【解析】作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由y＝－x＋2，y＝x－1，得yD＝12，所以S△BCD＝12×(xC－xB)×12＝14.2．若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】3．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为()-16-A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2，2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6.4．在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组y≤1，x＋y－2≥0，x－y－1≤0所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为()A．2B.1C.12D.13【答案】B【解析】5．已知变量x，y满足约束条件x－y≥1，x＋y≥1，1＜x≤a，目标函数z＝x＋2y的最大值为10，则实数a-17-的值为()A．2B.83C．4D．8【答案】C【解析】结合图形求解．作出不等式组对应的平面区域，当目标函数经过点(a，a－1)时取得最大值10，所以a＋2(a－1)＝10，解得a＝4，故选C.6．若A为不等式组x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．【答案】74【解析】7．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x＋3y－6≤0，x＋y－2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．【答案】2【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，-18-∴|OM|min＝|－2|12＋12＝2.8．(2015·盐城调研)设x，y满足约束条件y≤x＋1，y≥2x－1，x≥0，y≥0，若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为35，则a＋b的最小值为________．【答案】8【解析】三、解答题9．(2015·合肥模拟)画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：-19-(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈－52，3，y∈[－3，8]．10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利-20-最大？解设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0，