2016年高考文数热点题型和提分秘籍专题15两角和与差的正弦余弦和正切公式

1【高频考点解读】1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．【热点题型】题型一三角函数式的化简与给角求值【例1】(1)已知α∈(0，π)，化简：（1＋sinα＋cosα）·（cosα2－sinα2）2＋2cosα＝________．(2)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°＝______．解析(1)原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα24cos2α2＝cosα2cos2α2－sin2α2cosα2＝cosα2cosαcosα2.因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2，所以cosα2＞0，所以原式＝cosα.(2)原式＝2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝(2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°)·2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.答案(1)cosα(2)62【提分秘籍】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．【举一反三】(1)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1(2)(2014·临沂模拟)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β＝________．(2)法一(从“角”入手，复角化单角)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－123＝1－12＝12.法二(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－12cos2αcos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2αcos2β＝cos2β－cos2β(sin2α＋12cos2α)＝1＋cos2β2－12cos2β＝12.法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12cos2α·cos2β＝14＋14＝12.题型二三角函数的给值求值、给值求角【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．4解(1)∵0βπ2απ，∴π4α－β2π，－π4α2－βπ2，∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.5【提分秘籍】(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝α－β2－α2－β；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．【举一反三】已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，(1)求tan2α的值；(2)求β.解(1)∵cosα＝17，0απ2，∴sinα＝437，∴tanα＝43，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－48＝－8347.(2)∵0βαπ2，∴0α－βπ2，∴sin(α－β)＝3314，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3.题型三三角变换的简单应用【例3】已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.解(1)由f5π12＝32，得Asin2π3＝32，6又sin2π3＝32，∴A＝3.(2)由(1)得f(x)＝3sinx＋π4，由f(θ)＋f(－θ)＝32，得3sinθ＋π4＋3sin－θ＋π4＝32，化简得cosθ＝64，∵θ∈0，π2，∴sinθ＝1－cos2θ＝1－642＝104，故f3π4－θ＝3sin3π4－θ＋π4＝3sinθ＝3×104＝304.【提分秘籍】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．【举一反三】已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos2α，求cosα－sinα的值．(2)由已知，有sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，7所以sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45cosαcosπ4－sinαsinπ4(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝45(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2kπ，k∈Z.此时cosα－sinα＝－2.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝54.由α是第二象限角，知cosα－sinα＜0，此时cosα－sinα＝－52.综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.【高考风向标】【2015高考重庆，文6】若11tan,tan()32aab=+=,则tan=b（）(A)17(B)16(C)57(D)56【答案】A【解析】11tan()tan123tantan[()]111tan()tan7123，故选A.【2015高考上海，文1】函数xxf2sin31)(的最小正周期为.【答案】【解析】因为xx2cos1sin22，所以xxxf2cos2321)2cos1(231)(，所以函数)(xf的最小正周期为22.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan2．（1）求tan4的值；（2）求2sin2sinsincoscos21的值．【答案】（1）3；（2）1．8【解析】（1）tantantan1214tan341tan121tantan4（2）2sin2sinsincoscos21222sincossinsincos2cos11222sincossinsincos2cos22tantantan222222211．(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【答案】D【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AD是直线l3，则DD1是直线l4，此时l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，A1D1是直线l3，则C1D1是直线l4，此时l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．2．(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：9f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．【解析】(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃.3.(2014·湖南卷)如图1­4所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，∠BEC＝π3.(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．图1­4【解析】设∠CED＝α.(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－106＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得ECsin∠EDC＝CDsinα.于是，sinα＝CD·sin2π3EC＝2×327＝217，即sin∠CED＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cosα＝1－sin2α＝1－2149＝277.而∠AEB＝2π3－α，所以cos∠AEB＝cos2π3－α＝cos2π3cosα＋sin2π3sinα＝－12cosα＋32sinα＝－12×277＋32×217＝714.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝EABE＝2BE，故BE＝2cos∠AEB＝2714＝47.4．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且fπ4＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，求sinα＋π3的值．115．(2014·全国卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acosC＝2ccosA，tanA＝13，求B.【解析】由题设和正弦定理得3sinAcosC＝2sinCcosA，故3tanAcosC＝2sinC.因为tanA＝13，所以cosC＝2sinC，所以tanC＝12，所以tanB＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝tanA＋tanCtanAtanC－1＝